一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =，那么1______x =。

5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

6、1151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的谱半径 ＝ 。

7、设2()35, , 0,1,2,... ,k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++=和[]123,,,n n n n f x x x x +++=。

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。

10、为了使计算23123101(1)(1)y x x x =++----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。

填空题答案1、2.31502、()()()()23121233153,,112,,416f x x f x x f x x x x x ---===-- 3、6 和 14 4、1.55、()()11,,2k k k k k hy f x y f x y +++⎡+⎤⎣⎦6、()6A ρ=7、[][]12123,,3,,,,0n n n n n n n f x x x f x x x x +++++== 8、 收敛 9、()h O10、11310121(1)(1)y x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭二、计算题 （共75 分，每题15分）1．设3201219(), , 1, 44f x x x x x ====（1）试求 ()f x 在 19,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足 ''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x ===()x H 以升幂形式给出。

（2）写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式计算题1.答案1、（1）()3214263233122545045025x x x x H =-++-（2）()522191919()(1)(),()(,)4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈2．已知 的 满足，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？计算题2.答案2、由 ()x x ϕ=，可得 3()3x x x x ϕ-=-，1(()3)()2x x x x ϕψ=--=1 ()(()3) 2x x ψψ=--’’因，故11()122x x ψϕ=<<’’（）-3[]11()()3 , k=0,1,.... 2k k k k x x x x ψϕ+==--故收敛。

3． 试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？计算题3.答案3、101612,,995A C B a ====±，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss 型的4． 推导常微分方程的初值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩的数值解公式：'''1111(4)3n n n n n h y y y y y +-+-=+++（提示： 利用Simpson 求积公式。

）计算题4.答案4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 ()y f x =’在区间 []11,n n x x -+上积分，得1111()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx+-+-=+⎰，记步长为h,对积分11(,())n n x x f x y x dx+-⎰用Simpson 求积公式得[]1111112(,())()4()()(4)63n n x n n n n n n x h h f x y x dx f x f x f x y y y +--++-≈++≈++⎰’’’所以得数值解公式： 1111(4)3n n n n n h y y y y y +-+-=+++’’’5． 利用矩阵的LU 分解法解方程 组1231231232314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩计算题5.答案5、解：1123211435124A LU ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (14,10,72), (1,2,3) .T T Ly b y Ux y x ==--==令得得三、证明题 （5分）1．设，证明解 的Newton 迭代公式是线性收敛的。

证明题答案1、32231321232323333 ()(), ()6(),:(),0,1,... ()()5,0,1,...6()6655 (), (),6663551 , ()()636n n n n n n n n n n nf x x a f x x x a Newton f x x x n f x x a x ax x n x x a x a ax x x x x a x a a a ϕϕϕ++--=-=-=-=-=-=+--=+=-==-=-’’’’’证明：因故由迭达公式得因迭达函数而又则10,32=≠故此迭达公式是线性收敛的。