结论：任何一个大于1的整数n总可分解为一些 素数的乘积。
结论：素数有无穷多个.
对给定的大于1的正整数，如何判断它是不是 素数呢？
结论：如果大于1的整数a不能被所有不a超过 的素数整除，那么一定是素数。
例3：找出1～100中的全部素数. 埃拉托斯特尼筛法
初等数论初步
第一讲 整数的整除 §1.2 最大公因数与最小公倍数
例1：判断710316能否被9，11整除.
三、带余除法(欧式除法算式)
一般地，设a,b为整数，且b≠0，则存在唯一的 一对整数q和r，使得a=bq+r,0≤r<|b|.其中唯 一的q和r分别叫做a除以b的商和余数.
例2：2004除以某个整数，其商为74，求除 数和余数.
探究：
我们用符号[x]表示不超过实数x的最大整数，试 用a,b表示a除以正整数b的商q和余数r.
一、最大公因数
定义：给定两个整数a，b，必有公共的因数， 叫做它们的公因数。当a，b不全为零时，在有 限个公因数中最大的一个叫做a，b的最大公因 数，记作(a，b).定义可以推广到n个整数.
类似地，我们也可以定义三个非零整数或更多 个非零整数的最大公因数的概念，将a,b,c的 最大公因数记作(a,b,c)，依此类推。
素数 p ,使 p 2 为素数或至多为两个素数的乘积。
(相邻两个奇数同时为素数，这样的数叫做孪素数)
3.哥德巴赫猜想：大致可分为两个猜想：每个不小于6 的偶数都可以表示为两个奇素数之和；每个不小于9的 奇数都可以表示为三个奇素数之和。1966年陈景润证 明了任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素 因子不超过2个的数之和”。
类似地，我们也可以定义三个非零整数或更多 个非零整数的最小公倍数的概念，将a,b,c的 最小公倍数记作[a,b,c]，依此类推。
pa；
( ) a1 , a2 , , ak dd d
(5) 若a = bq r，则(a, b) = (b, r).
(6) (ma1, ma2, , mak) = |m|(a1, a2,
, ak).
求两个数的最大公因数的方法： 1.短除法 2.辗转相除法
思考： 如果b除a的余数为r，那么(a,b)=1成立吗？ (a,b)与(b,r)有什么关系？
4.圆内整点问题：高斯曾研究过这样的一个问题：在 一个给定半径的圆内有多少个坐标为整数的点呢？后 来它又被称作高斯圆内整点问题。
5.完全数问题：完全数又称完美数或完备数，是一些 特殊的自然数。它所有的真因子的和恰好等于它本身. 目前也只知道38个偶完全数，其中最大的是 26972592. 是否存在奇完全数仍是一个悬而未解的问题。
定义：如果a，b的最大公因数为1，那么称a， b是互素的.
相关性质：
(1)(a1, a2, , ak) = (|a1|, |a2|, ,
|ak|)；
(2)(a, 1) = 1，(a, 0) = |a|，(a, a) =
|a|；
(3) (a, b) = (b, a)；
(4)若p是素数，a是整数，则(p, a) = 1或
初等数论初步课件
一、数论中的著名问题：
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数 学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此， 数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题叫 做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。
1.费马大定理：当整数n>2时，关于x,y,z的不定 方程xn+yn=zn无正整数解(x=0或y=0不在考虑之 列).1994年德国数学家维尔斯解决了这个问题， 并获得了沃尔夫奖. 2.孪素数猜想：孪素数应有无穷多对。著名数学家 陈景润研究哥德巴赫问题时证明了：存在无穷多个
四、素数及其判别式
定义： 素数：仅有两个正因数的正整数叫做素数（正 因数只有1和它本身）. 合数：不是素数又不是1的正整数叫做合数。
观察：
对于正整数6，7，9，21，65，77，121.观 察它们除1以外的最小的正因数，从中你能发现 什么规律？
结论：每个正整数n除1外的最小正因数p是一个 素数.
为什么？
二、整除的性质和概念
定义：设a,b为整数，且b≠0. 如果存在整数q，使得 a=bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作b|a， 并且称b是a的因数，a是b的倍数. 如果这样的整数q 不存在，就称b不整除a，记作b | a .
性质: 若 a 0,b 0 ，则
(1)若 a | b,b | a，则 a b或a b ； (2)若 a | b,b | c，则 a | c ； (3)若 a | b,b | c ，则对任意整数x,y，恒有a|bx+cy； (4)若 a | b, a | c，且a,b互质，则ab|c；
结论：如果b除a的余数为r，那么(a，b)=(b，r).
结论：(a,b,c)=((a,b),c)
结论：设整数a,b不同时为零，则存在一对整 数m,n，使得(a,b)=am+bn.
你能用辗转相除法证明这个定理吗？
对于任意的整数a，b，c，下面的结论成立： (1)若bac，且(a, b) = 1，则bc； (2)若bc，ac且(a, b) = 1，则abc.
(3)设p为素数，若p|ab，则p|a，或p|b. (4)设p为素数，若 p | a1a2 ak ，则存在 ai (1 i k) ,使得 p | ai 。
一、最小公倍数
定义：任给两个非零整数a,b，一定存在一个 整数，它同时为a,b的倍数，这个倍数叫做a,b 的公倍数。我们把a,b的最小的正公倍数叫做 a,b的最小公倍数，记作[a，b].
(5)若p为质数，p|ab，则p|a或p|b，特别地，若
p | an , n N,则p | a
Байду номын сангаас
结论：一个正整数的各位数字之和能被3整除， 那么这个正整数能被3整除.
请根据上面整除的性质证明这个命题.
探究：
利用类似的方法证明能被9,11,7整除的正整数的特征。 1、一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正 整数能被9整除。 2、一个正整数的奇数位数字之和与偶数为数字之和的 差能被11整除，那么这个整数能被11整除. 3、一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之 前的数字组成的数之差能被7(或11)整除，那么这个正 整数能被7(或11)整除.