第二章
不定方程
1、什么是不定方程？
顾名思义即方程的解不定.一般地有 定义：不定方程是指未知数的个数多于方程 的个数，或未知数受到某种限制(如整数 ， 正整数等）的方程和方程组。
2、主要研究问题
a.不定方程有解的条件 b.有解的情况下，解的个数 c.有解的情况下，如何解
3、本章学习内容
(1）二元一次不定方程 （2）多元一次不定方程 （3）勾股数组 （4)费马大定理简介
a2 | w2 ,b2 | w2 , 又（u，v）=1，
(a2,b2 ) 1, (a,b) 1 ab | w,w abw1 u12v12 w12 , 若w12 1 则有质数 p, 有p2 | w12
但有u1, v1的定义及(u1, v1) 1,有 u1v1 不能被 p2 整除.
令
25 4 y1 33

x1有 33 x1
4 y1

25
故y1

6 8x1
1 x1 4
,令1 x1 4

y2令x1
4y2
1
令y2 t, x1 1 4t 故
y 8 107 t, x 3 37t,t Z
§2 多元一次不定方程
2.1定义：形如 a1x1 a2 x2 an xn c(n 2)
而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数 的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可 交换即有

2ab a2 b2
,

a2 a2

b2 b2
及

a2 a2

b2 b2
,

2ab a2 b2

例1：勾股数的勾股中至少有一个是3的倍数。
故 w12 u1v1 1,u1 v1 w1 1
所以 u=a2，v=b2，w=ab 。a>0，b>0， （a ,b）=1
下面进行定理的证明.
定理的证明： x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，
a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。显然是方程x2+y2=z2的解， 满足x>0，y>0，z>0，2∣x ，且设（x，y）=d，则有
的不定方程多元一次不定方程。
2.2 定理 a1x1 a2 x2 an xn c(n 2)有解
的充要条件是 (a1, a2 , an ) | c
证：必要性，若不定方程有解 x1, , x2, xn, ,
则有
a1
x
' 1

a2
x
' 2

an x'n

c
由 (a1, a2 , an ) | ai , 有(a1, a2 , an ) | c 。
x2+y2=z2 方程解的分析
（1）若x，y，z是方程解，则dx，dy，dz也是 方程解
（2）由（1）只要考虑（x，y，z）=1的解即 可，而实际上只 要（x，y）=1即可，假设（x， y）=d，则d|x，d|y，则有d|z
（3）由（2）可设（x，y）=1，则x，y为 一奇一偶。
若x，y都为奇数，则z为偶数，则方程左边 为4K+2，右边为4K，矛盾。所以x，y为一 奇一偶。
但是自然数无穷递降是不可能的，于是产
生了矛盾，∴ 2 无理数。
几个特殊的不定方程的初等解法
证：设N=3m 1，（m为整数），则
N 2 9m2 6m 1 3(3m2 2m) 1 =3k+1
设x2 y2 z2中，若x，y都不是3的倍数，
x2 , y 2 都是3K+1，则其和为3k+2。不可能
是平方数，所以 x2 y2 z2 是 不可能的。
§4 费尔马大定理和无穷递降法
充分性：用数学归纳法 (n=2）时已证
假设对n-1时条件是充分的，令
d2 (a1, a2 ), (d2 , a3, an ) d | c
则方程 d2t2 a3x3 an xn c 有解，设解为
t2, , x3,
x,
n 又a1x1 a2 x2
d2t2,有解，
设为x1, , x2, ,这样 x1, , x2, xn, 就是方程的解。
注：从证明过程也提供了方程的解法。
设 (a1, a2 ) d2 , (d2 , a3 ) d3, (dn1, an ) dn
则 a1x1 a2x2 an xn c(n 2) 等价于方程组
a1x1 a2 x2 d2t2 , d2t2 a3x3 d3t3, d t n1 n1 an xn c
先解最后一个方程的解，得 tn1, xn 然后把其代入倒数第二个方程求得一 切解，如此向上重复进行，求 得所有 方程的解。
例1：求不定方程 25x 13y 7z 4的整数解.
解 因为（25，13）=1，（1，7）=1|4，所以方程有解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
25x+13y=t, t+7z=4. 先求t+7z=4的解为t=4-7u，z=u。 因为25*(-1)+13*2= 1，所以25x+13y=1的特解为
（1）观察法：当a,b的绝对值较小时可直接观
察不定方程的一组特解 x0 , y0，然后用
x x0 b1t

y

y0

a1t
得到其所有解。
2、公式法：当a,b的绝对值较小时，可用公
式 P0 1, P1 q1, Pk qk Pk1 Pk2
Q0 0,Q1 1,,Qk qkQk1 Pk2 得到特解
且
(
z
2
y
,
z
2
y
)
1
因为设
(
z
2
y
,
z 2
y
)

d
则有d|z，d|y，因而有d|x，所以d=1
于是由引理令
z y 2

a2,
zy 2

b2,
x 2

ab, a0,b0, (a,b)
1
于是有x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>0,b>0,(a,b)=1
由y>0,知a>b>0 , 又y单，所以a ,b一奇一偶。
（同余方程中再讲）
注:方法(1)(3)(4)用得较多,(2)不太实用.
例1：求解不定方程 9x 21y 144
解：因为（9，21）=3，3|144所以有解；
化简得
考虑
,
有解 3x 7 y 48
3x 7y 1
所以原x方程2的, y特解1 为
，
所以方程的解为
x 96, y 48
推论：单位圆上的有理点可写成


2ab a2 b2
,

a2 a2

b2 b2
及
a2 a2

b2 b2
,

2ab a2 b2

证：由 x2 y 2 z 2 两边同除 z 2
有
(
x z
)2

(
y z
)
2
1 ，令X

x z
,Y

y z
所以有 X 2 Y 2 1 即为单位圆的方程
因为（a,b)|a, (a,b)|b ,因而 (a,b)|c
反之，设(a,b)|c,则 c (a, b)c1由最大公因数
的性质存在s,t 使得as+bt=(a,b)
令 x0 sc1, y0 tc1 即为方程的解
3、二元一次不定方程有解的情况下解的结构
定理：设 x0 , y0是方程的一组解，则不定方
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条件是
(a,b)|c
证：设方程有解 x0 , y0则有 ax0 by0 c
然x后0 用(公1)n式1Q写n , y出0 一(切1)n解Pn。 qi为a,b作辗转相
除时不完全商(见书)
3、整数分离法：当a,b中系数不同时，用绝对 值较小的系数后的变量表示另一个变量，通 过变量替换得到一个新的不定方程。如此反 复，直到一个参数的系数为1.从而得到不定方 程的解。
4、化为同余方程 ax c(mod| b |)
a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。 为了证明定理的结论，先给出下面引理。
引理：设 u>0，v>0，（u ,v） =1，则不定 方程 uv=w2 的解为
u=a2，v=b2，w=ab
其中a>0，b>0，（a ,b）=1。
证：设u，v，w是方程的解，令
u a2u1, v b2v1, a,b0,u1, v1 不含平方数，
1、费尔马大定理：不定方程 xn+yn=zn ， n≥3无正整数解。 由于一个大于2的整数n，当n是偶数时，必 为4的倍数或为某个奇质数的偶数倍，当n是 奇数时，必是一个奇质数p的倍数。因此， 实际上只需证明 x4 y4 z4 和 x p y p 对 x4 y4 z4 可用无穷递降法证明，而
∴ 2 无理数。
例2:证明 2 是无理数
证：假设 2 是有理数，则存在自然数a,b使
得满足 x2 2 y2，即 a2 2b容2 易知道a是偶数，