高三数学立体几何练习题及答案Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】江苏省盐城高级中学2009届高三数学立体几何周练一．填空题1平面图形的面积是2方体木块的个数是 5 ．3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得到这个几何体的体积是___________43π____3cm．4．已知m n、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,//n m nαβ=，则//,//m mαβ；（2）若,m mαβ⊥⊥，则//αβ；（3）若//,m m nα⊥，则nα⊥；（4）若,m nαα⊥⊂，则.m n⊥其中所有真命题的序号是(2)(4)．俯视主视图左视图主视图左视图俯视图x′5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 1345 （写出所有正确结论的编号．．）。

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。

6. 已知一正方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为,p 表面积为q ，若2m p =，则nq = 6π7．给出下列四个命题：⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ00(090θ<≤）角的直线一定有无穷多条；⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；⑷ 对两条异面的直线,a b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；其中正确命题的序号为_____24________（请把所有正确命题的序号都填上）．８．已知三条不重合的直线两个不重合的平面，有下列命题：①若||,m n n α⊂，则||m α；②若,l m αβ⊥⊥，且||l m ，则||αβ；③若,,||,||,m n m n ααββ⊂⊂则||αβ；④若,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥，则n α⊥。

其中正确的序号为 ②④9.有两个相同的直三棱柱，高为a 2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是____0<a<315______ 10．正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是 64a 5a3a2a4a 5a3a2aD A C B M N R11．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1,EF AC EF A D ⊥⊥ 则EF 和BD 1的关系是 平行12. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是线段B 1C13．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB 、△PAC 、△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 26π cm 2．14．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平二．解答题：（每题15分）15．如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，12AA AB =,点D 为11C A 的中点。

求证：（1）D AB BC 11//平面； （2）D AB C A 11平面⊥.证明：（1）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 连结A 1B ，设AB 1∩A 1B =O .连结OD .△DA 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ， ∴OD ∥BC 1.∵OD ⊂平面AB 1D . BC 1⊄平面AB 1D . ∴BC 1∥平面AB 1D .（2）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1. ∵B 1D ⊂平面A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1中点，∴B 1D ⊥A 1C 1.FBDCPM∵AA 1∩A 1C 1=A 1，∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ..,11111D B C A C C AA C A ⊥∴⊂平面︒=∠=∠==∴=90,22,2111111AC A A DA AC AA AA D A AA AB ∴△DA 1A ∽△A 1AC . ∴∠ADA 1=∠CA 1A . ∵∠DA 1C +∠CA 1A =90°，∴∠ADA 1+∠DA 1C =90°. ∴A 1C ⊥AD . ∵AD ∩B 1D =D ，∴A 1C ⊥平面AB 1D . 16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，CD AC CD AD AB CD AB AD ⊥∴⊥,||, a AD =,21AB DC AD == a AB a CD 2,==∴ADC ∆90=∠ADC a AC DAC DCA DC AD 2,45,==∠=∠∴=ACB ∆45,2,2=∠==CAB a AC A AB a CAB ABCOS AC AB AC BC 222=∠⋅-+=∴222AB BC AC =+ BC AC ⊥CPC AC PAC PC PAC AC PC BC =⋂⊂⊂⊥,,,平面平面 PAC BC 平面⊥∴BC PA PAC PA ⊥∴⊂,平面 M PB PAD CM 平面||AP F .,,DF FM CM AB FM AB FM 21,||=CD FM CD FM AB CD AB CD =∴=.||,21,|| 是平行四边形四边形CDFM ∴DF CD ||∴PAD DF 平面⊂ PAD CM 平面⊄PAD CM 平面||∴21;EO CD ⊥3⊂FO ⊄ECD ,OG EG ⊂,EOG CD ⊥,EOG OE ⊂.EO CD ⊥1222,CD FG ⊂,CDF （1）求证：;AC GN ⊥（7分）（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP8分）GOF E D CBAaa a俯视图左视图主视图G E F NM D CB A证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ，∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC ∴AC ⊥面FDN FDN GN 面⊂ ∴GN ⊥AC（2）点P 在A 点处证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC GSA GA 面⊂∴GA//面FMC 即GP//面FMC19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3．（Ⅰ）求证：AC ⊥DE ；（Ⅱ）求四棱锥P －ABCD 的体积．（Ⅰ）证明：连接BD ，设AC 与BD 相交于点F ． 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ． (2)分又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ． 而AC ∩BD ＝F ，所以AC ⊥平面PDB ．E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE ．（Ⅱ）连EF ．由（Ⅰ），知AC ⊥平面PDB ，EF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥EF ．S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB ． S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1． 由△PDB ∽△FEB ，得PD PBEF FB=．由于EF ＝1，FB ＝4，PB = 所以PB ＝4PD 4PD =．解得PD V P —ABCD ＝13S □ABCD ·PD ＝13×24．A（第19CDE PFB20如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点。

（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；（Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（Ⅲ）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与平面BDE 是否垂直若不存在，请说明理由。

证明：如图，连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点。

连结MD ，又D 为AC 的中点，MD C B //1∴，又⊄C B 1平面BD A 1，//1C B ∴平面BD A 1 。

（Ⅱ）B B AB 1= ，∴四边形11A ABB 为正方形，11AB B A ⊥∴。

又⊥1AC 面BD A 1B A AC 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB ，111C B B A ⊥∴。

又在直棱柱111C B A ABC -中，111C B BB ⊥，⊥∴11C B 平面A ABB 1。

（Ⅲ）当点E 为C C 1的中点时，∠1BA E =45°，且平面⊥BD A 1平面BDE 。

设AB=a ，CE=x，∴11,,22A B A D a BD CD ====，DE =，∴1A E ==BE在1A BE 中，由余弦定理，得22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒， 即22222222a x a x a +=++-⋅，∴3a =， ∴x=12a ，即E 是C C 1的中点。

D 、E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴。

1AC 平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1。

又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE 。