《合情推理─归纳推理》的评课朱辉华师：我们知道，“推理”活动对于人们认知客观世界和改造客观世界而言，具有非常重要的意义。

所以我们有必要对“推理”的数学意义进行较深入的学习和加强。

虽然，以古希腊为代表的西方数学在“推理”方面具有明显的特点与优势，但中国古代也产生了大量的、擅长“推理”的“专家”。

现在请大家观看一段视频，并且在观看的同时思考一个问题：即里面所涉及的主要人物是怎样对面临的问题进行推理的？下面的视频是三国演义中有关“草船借箭”的视频，主要演示当晚江中两军对峙的若干场景以及曹操面对“敌军忽至”的应对策略，时间为1分20秒。

师：视频中显示的主人公是谁呀？生：曹操！师：那“草船借箭”真正的主人公是谁？生：诸葛亮！师：俗话说的好：三个臭皮匠，顶个诸葛亮，下面我们来分析一下他怎么敢在周瑜面前夸下海口，保证能借到“箭”呢？有什么理由？生：因为曹操性格是多疑的，他怀疑有埋伏，……老师和学生一起进一步分析，得到：⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭(1)今夜恰有大雾(2)曹操生性多疑草船借箭必将成功(3)弓弩利于远战(4)北军不擅水战 师：由上可见，诸葛亮显然是一个善于利用推理的“专家”。

象这种利用几个已知的判断来确定一个新的判断，这就是我们前面所讲的“推理”。

教师下面介绍了“推理”的概念。

并利用如下的“思考1”让学生学习了“推理”与“合情推理”的分类，引出了本节课的主题───归纳推理。

思考1：试根据以下前提进行猜想。

①由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电②由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°。

③地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征。

④因为所有人都会死，而苏格拉底是人。

师：我们通过“思考1”的前面两个小题与屏幕上的两种推理（注：这里略去）能不能总结出“归纳推理”的某些特征。

生：很好！我们可以借此得到归纳推理的概念。

即由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

这里面哪些是关键词？生：部分对象，全部对象，个别事实，一般结论。

师：很不错！事实上归纳推理即为由部分到整体，由个别到一般的推理。

这种推理在生活及学习中极为常见。

大家能不能分组讨论一下，得到一些例子？学生积极参与了讨论，也得到了一些生活以及学科上的例子，如市场的菜涨价问题、用样本去估计总体以及化学中酸与碱反应问题等等。

师：实际上，在近代有得多著名科学猜想。

如费马大、小定理、费马素数猜想、黎曼猜想、四色定理以及角俗猜想等等都与归纳推理有着千丝万缕的关系。

我们不妨看一下下面的“哥德巴赫猜想”。

对于等式：3＋7＝10,3＋17＝20,13＋17＝30，…，哥德巴赫经过观察没有得到有用的结果，后经过“局部整容”，即改变数学结构的呈现方式：10＝3＋7,20＝3＋17,30＝13＋17，…，他发现这些偶数能拆成两个奇质数之和。

通过更多特例的检验，从6开始，没有出现反例，于是他就大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和，即可以表示成122n p p =+*(,n N n ∈≥3)，这个猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。

是“明珠”，大家都想要，我国数学家王元、陈景润等都在此问题上作出了杰出的成绩，其中后者更最接近“明 珠”的结论，即122n p p =+。

在学生对此猜想进行若干尝试之后，教师结合相应软件对猜想进行了实例展析。

师：我们从“哥德巴赫猜想”的产生与尝试解决的历程，可以学到什么？生：首先应大胆猜想；其次是在必要时应改变数学结构的呈现形式。

生：还有，在学习过程中应抓住机遇并反复尝试，才能对事物的内部规律有所发现。

师：很漂亮！另外，哥德巴赫猜想是否正确？（学生表示未加以完全证明之前，不能说其是正确的）那就说明通过归纳推理得到的结论是……生：可能是正确的，也可能是不正确的！师：哥德巴赫猜想、四色定理、牛顿发现万有引力以及门捷列夫发现元素周期律等等充分说明应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论！用一个成语表示，就是“一叶知秋”，即通过一些具体的、有限的事例能够推知一般的规律。

下面的同学发会心的微笑。

师：下面请同学们运用刚才所学的知识解决如下题组一的有关问题。

①对于数列1,3,5,7,,L 由此你猜想出第n 个数是_________________。

②观察图，可以发现一般性结论：_________________。

21342+==，213593++==，21357164+++==，213579255++++==③对任意的正整数n ，猜想12n -与2(1)n +的大小关系。

学生对于前面两个小题的解决不成问题，而有相当多的同学对于最后一个问题却产生了错误，即认为：对于*n N ∈，总有122(1)n n -<+。

针对这种情况，教师先与同学们一起进行验证，结果同学们终于发现上面的结论存在着问题。

教师随之利用几何画板软件对这两种函数的图像进行了比较，得到了正确的结论。

师：我们也可以在数学史上找到一些利用归纳推理而导致错误的例子，如著名的费马素数猜想。

于是，教师向同学们介绍了费马素数猜想的起源与解决过程以及希尔伯特的“23个问题”等猜想对数学发展的重大促进作用。

并与同学们一起总结了归纳推理的基本过程与若干特点。

师：虽然归纳推理具有从特殊到一般以及创造性的特点，但由于其还具有或然性的特点，所以著名的数学教育家波利亚先生说过：“合情推理是冒险的，有争议的和暂时的”。

那么现在有一个重大的问题：既然归纳推理有这样的“先天不足”，那么我们还有必要经常使用它来分析问题，甚至于解决问题吗？生：我认为有必要，因为虽然它有缺点，但也具有鲜明的特点，即具有创造性，我们能够运用它发现出一些对我们有用的、隐藏于内部的规律！这时候，另有同学插嘴说：“人都有缺点，何况是一种数学推理方法呢！我人；较要忍受它的缺点，发扬它的优点！”同学们发出一阵欢笑。

师：由于归纳推理的结果是带有或然性的，我们可以用一句著名的广告语，即…… 生：（异口同声）一切皆有可能！然后教师让同学们独立思考、分析题组二（这里略去），强调数列通项公式的猜想应注意各项之间的共同特征以及项与序号n 之间的关系；再师生结合几何画板软件讨论、分析了有关吴文俊教授与“机器证明”的有关史实。

师：以前我们大多数同学都接触过“河内塔游戏”，现在请大家阅读之后，思考一下怎样通过归纳推理来分析这一问题。

（“河内塔”问题在此略去，详见人教版选修1－229P 页）同学们比较熟练地分别解决了1至3个金属片的移动次数问题。

师：我们不但应进行数值上的归纳，而且也应该进行数学方法上的归纳。

那现在我们分别考虑一下2个金属片移动与1个金属片移动、3个金属片移动与2个金属片移动之间存在着何种联系？结合游戏软件让同学们动手操作，在解决了4个金属片移动的问题后，通过教师的引导，同学们归纳出：移动n 个金属片的任务，可以转化成移动两次(1)n -个金属片和移动一次第n 个金属片的任务，即121n n a a -=+，并且归纳得出21n n a =-。

师：这个结论是我们猜想的结果，是不是正确的？能不能通过上面的分析过程加以证明呢？生：可以通过递推公式11121nn a a a -=⎧⎨=+⎩加以证明。

教师与同学们不约而同地鼓起掌来，然后大家对这个游戏的操作与推理过程进行了数学思想方法层面上的总结，强调了转化与归纳思想在数学中的应用。

最后，师生对这节课内容进行了相应地梳理，教师布置作业也正好下课了。

对这节新授课教学的若干分析1．本案例从教学设计上看，案例构思合乎新课程理念，颇具匠心新课标指出：“教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认识水平”。

正是基于这种理念，并考虑到数学推理在日常生活、军事政治等方面的广泛应用，本节课采用了同学们耳熟能详的《三国演义》中“草船借箭”视频，并且精心选取、合成了能反映人物心理变化与战场实景的片断。

这种素材不仅紧扣本节课的主题，引出了“推理”的数学概念，而且极大的调动了学生的注意力与积极性，取得了良好的效果。

其次，由于“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理”，所以在本节课的授课过程中，教师“因地制宜”地、非常贴切地利用“局部整容”、“一叶知秋”以及“一切皆有可能”等比喻来展示所对应的数学的特征或其形式的变化特点。

这种设计使得原本让人感觉生涩、抽象的数学变得较为浅显易懂，并且在形式上呈现出幽默风趣、言简意赅的物色，使“数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”，这从现场学生的反应情况以及笔者课后的调查情况中得到了充分映证。

另外，“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中”。

显而易见，本节课不仅在具体内容上把哥德巴赫猜想、费马素数猜想以及“河内塔游戏”等数学文化蕴含其中，而且还涉及到四色定理、机器证明以及著名的“23个数学问题”等数学文化。

通过这些内容的学习和“洗礼”，使学生了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；养成求知、求实、大胆猜想以及勇于探索的情感和态度。

最后，新课标指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。

……使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”。

在本节课的授课过程中，不仅在归纳推理举例时让学生们积极参与，而且在解决问题遇到困难时，两次让学生自身通过几何画板软件演示从而突破难点。

而在“河内塔游戏“的解决过程中充分调动学生的积极性，利用游戏软件让师生、生生互动，不但在金属片的移动次数的数值上进行规律上的归纳，而且还在教师n 个金属片的移动过程的关系。

从而达到数的协助下，归纳出n个金属片的移动过程与1学思想方法认识上的飞跃，使学生实现了主动建构数学知识之目的。

2．本案例从整体上来看，还存在着几点尚待探讨的困惑首先，从本节课的整体效果以及听课师生的课后反应来看，大都持肯定态度。

但是笔者发现此节课有超过一半时间以上的授课、讨论等内容与数学无关或者说只是存在表面形式上的关系，由于“推理”这一部分内容与生活或者其它学科存在着密切的关系，所以师生讨论的范围并不囿于数学学科的范畴，这也无可置疑，但在另一方面也产生无法预料的副作用，即数学味不浓，有“去数学化”之嫌。

例如一学生举出化学中酸与碱反应这一方面的例子，导致教师的反应明显迟钝，只好采取淡化的方法，阻断了学生再向物理、生物等学科方面联想的念头。

笔者显然对授课教师做出这种选择持肯定态度。