林德曼-魏尔斯特拉斯定理
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1概述
2]ei]和π的超越性
3]pi]进数猜想
1概述
林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。

它表明，如果 α1,...,αn 是代数数，在有理数 ℚ 内是线性独立的，那么在 ℚ 内是代数独立的；也就是说，扩张域在 ℚ 内具有超越次数 n。

一个等价的表述是：如果 α1,...,αn 是不同的代数数，那么指数 在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。

林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。

魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

2]ei]和π的超越性
e和π的超越性是这个定理的直接推论。

假设α是一个非零的代数数，那么{α}在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，{e}是一个代数独立的集合，也就是说，e是超越数。

特别地，e = e是超越数。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果α是一个非零的代数数，那么{0, α}就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，e不能是代数数，因此一定是超越数。

现在，我们来证明π是超越数。

如果π是代数数，2πi也是代数数（因为2i是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，e[sup]i[/sup] = 1（参见欧拉公式）也是超越数，这与1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。

3]pi]进数猜想
p进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在p进数中也成立：假设p是素数，α1,...,αn是p进数，它们都是代数数，且在Q内线性独立，使得对于所有的i，都有。

那么p进指数在Q内是代数独立的。