Байду номын сангаас
z 4 y 3 10 xy 6 x
z 12 xy 2 30 x 2 y 5 y
所以 dz (4y3 10 xy6 )dx (12 xy 30 x2 y5)dy
例2 求函数 f (x, y) x2 y3 在点（2，-1）处的全微分。 解：因为
f x (x, y) 2xy3 , f y (x, y) 3x2 y 2 f x (2,1) 4, f y (2,1) 12
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
可以表示为
z A x B y ( )
其中A，B与Δx,Δy无关， ( )是当 ( x )2 ( y )2
→0时比ρ高阶的无穷小。则称函数 z f ( x, y )在点
（x，y）处可微， A x B y 称函数在点(x,y)
则有
V r 2h
所以
dV V r V h 2rhr r 2h
r
h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5
由公式（1）得
V dV 2 3.14 20 400.1 3.14 202 ( 0.5 )
125.6( cm3 ) 即金属体受压后体积减少了125.6cm3。
3x2 x3 y3
f y( x, y ) 2
3y2 x3 y3
取 x0 1, y0 2, x 0.01, y 0.02
则
f ( 1,2 ) 13 23
fx( 1,2 ) 0.5,
所以
f y( 1,2 ) 2
1.013 1.983 3 0.50.01 2( 0.02 ) 2.965
由公式（1）还可得
( 2 ) f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) fx( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y
例5 计算 1.033 1.983 的近似值。
解： 构造函数 f ( x, y ) x3 y3 ，则
f x( x, y ) 2
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微分 偏导数连续
如图，一边长分别为x、y
y
Δy
的长方形金属薄片，受热后 x 在长和宽两个方向上都发生
变化，分别为Δx、Δy，那么 Δx
该金属薄片的面积A改变了多少？
A ( x x )( y y ) xy
y x x y x y
ΔA称为面积函数A=xy的全增量， 由两部分组成：
三 全微分在近似计算中的应用
应用的公式：
( 1 ) z dz fx( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
例4 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的 20cm变到20.1cm，高由原来的40cm减少到39.5cm， 求该金属体体积变化的近似值。
解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V
处的全微分，记作dz或df(x,y)，即
dz A x B y
显然，dz≈Δz
二 可微的必要和充分条件
定理（可微的必要条件）
如果函数z f ( x, y ) 在点（x，y）处可微，则它在 该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且
dz z x z y
x
y
证明：由函数 z f ( x, y ) 在点（x，y）处可微有
• h
=
2rh • r
+ r 2
• h
其中r=20，h=40，Δr=0.1，Δh=-0.5 故有
V ≈dV ≈2×3.14×20×40×0.1+ 3.14×202 ×( 0.5 )
= — 125.6( cm3 )
即金属体受压后体积减少了125.6cm3。
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四、小结
例5 设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来 的20厘米变到20.1厘米，高由原来的40厘米减少到 39.5厘米，求该金属体体积变化的近似值。
解：如下图所示。
设圆柱体的底面半
径为r，高为h，体积为
V，则有
40cm
39.5cm
V = r 2h
此时
20cm
20.1cm
dV
=
∂V ∂r
• r
+
∂V ∂h
所以
z A x B y ( )
lim z lim [ f ( x x, y y ) f ( x, y )] 0
x0 y0
x0 y0
即
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
x0
y0
因此，函数 z f ( x, y )在点（x，y）连续。
x2 y2 0 x2 y2 0
由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数 都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可 微。
定理（可微的充分条件）
如果函数z

f
(
x, y
)
的两个偏导数
z x
,
z y
在点（x，
y）都存在且连续，则该函数再给点可微。
以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以 上的函数中去。
x0
x
x0 x
即说明
xz存在，且
z x

A
同理可证 z 存在，且 z B
y
y
故有
dz z x z y
x
y
注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，
也不能保证函数 z f ( x, y )在点（x，y）可微。
讨论函数：
xy

x
2

y2
0
x x0
y 0
y 0
z e2x y sin( 3x 4 y ) 4e2x y cos( 3x 4 y ) x0 4
y x0
y 0
y 0
所以
dz z x z y 30.2 4 0.3 1.8
x y
此题可理解为：在点（0，0）处x，y分别有增量 Δx=0.2，Δy=0.3时，函数也产生增量Δz，并且 Δz≈dz=1.8。
由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元
函数 z f ( x, y )的全微分习惯上可写为
dz z dx z dy
x
y
类似地，三元函数 u u( x, y,z ) 的全微分为
du u dx u dy u dz
x
y
z
例1 求函数 z 4xy3 5x2 y6 的全微分。 解：先求函数的两个偏导数：
又因为 z A x B y ( ) 中的A，B与
Δx，Δy无关，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。
不妨取Δy=0，则有
z A x (|x |)
上式两边同除以Δx，再令Δx→0， 则有
lim f ( x x, y ) f ( x, y ) A lim (| x |) A
所以
dz |(2,1) 4dx 12 dy
例3 设函数z e2x y sin( 3x 4 y ) 在点（0，0） 有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。
解：z 2e2xy sin( 3x 4 y ) 3e2xy cos( 3x 4 y ) x0 3
y x xy Δx，Δy的线性部分
x y 当(Δx,Δy) →(0,0)时，是一个比
( x )2 ( y )2 高阶无穷小。
一、全微分
定义 设函数z f ( x, y )在点(x，y)的某个邻域内 有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内， 如果函 数 z f ( x, y )在点（x，y）的全增量