用放缩法证明不等式
所谓放缩法就是利用不等式的传递性， 对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，
在使用
放缩法证题时要注意放和缩的 度”否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可 以是其他方法证题时的一个重要步骤。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. 添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1.设a ，b 为不相等的两正数，且a 3— b 3 = a 4 5 — b 2，求证1<a + b v 63 O
3
证明：由题设得 a 2+ ab + b 2= a + b ，于是（a + b ） 2>a 2+ ab + b 2= a + b ，又 a + b >0，得 a + b > 1，又 ab < 4 （a + b ） 2，而（a + b ） 2 = a + b + ab <a + b + 4 （a + b ） 2，即 4 （a + b ） 2<a + b ，所以 a + b < 3 ,故有 1<a + b < 4。
3
3
例2.已知a 、b 、C 不全为零，求证：
a
2
ab
b
2
b 2 b
c C
ac a 2
> 2 （a b C ）
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加 上同一个正数则分式值变大，禾U 用这些性质，可达到证题目的。
b 2
bc c 2
> b C
，
∙. c 2
ac a 2
> C a。
5 2
所以 a 2 ab b 2
b
2
bc
C 2
心 ac a 2
> 2
（
a b
C
）
二. 分式放缩
例3.已知a b 、C 为三角形的三边，求证：1< L + L + J < 2 o
b C a C a b
证明：由于a b 、C 为正数，所以严> —,4 > J ,七 > —,所以
b C a b
c a C a b c a b a b C
证明：因为叫―ab b21（a 2）2∣b2> J （a号）a b ≥ a号，同理
b⅜ +
出+
0⅜ >靑五+
^+⅛+C +
希C =1 ,又a ，b ，C
为三角形的边，故b+c >a,则代 为真分数，则斗V 罕，同理旦V J ,化V J ，
b C a b C a C ab C ab ab C
综合得1V J + L + -
b CaCa
三. 裂项放缩
都成立。
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
X
例6.已知函数f(x)
,证明：对于n N *且n 3都有f(n) —。
2x 1
n 1
证明：由题意知
n(n 1) 3 2 2
2n
(n 1)2
2
，综合知结论成立。
故b⅜ ÷丧÷缶V 备÷石
2b __ , 2c 2
^b ―C 十 a ―b ―C .
若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4.已知n ∈ N* ,求1
1
V 2、
n 。
证明：因为, 则1
1
2
2 ( .2 1)
2 ( 、
3 、2)
…2 ( . n In 1) 2.. n 1V 2∙- n ,证毕。
例5.已知n
.n(n 1),求证:
n(n 1) 2
(n I)
2
对所有正整数n
2
证明：因为...n(n 1)
n 2
n ,所以
a n
n(n 1)
，
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的
III
例8.已知a b c ,求证」 ——0
a b b CCa
证明：因为a b c ,所以可设a C t ， b C u(t
1
1
1 IIIItU
be CatUUtUt tu
例9.已知a, b ，CABC 的三条边，且有a 2
b 2 C 2 ,当n N *且n 3时，求证：a n
b n
C n 。
证明：由于 a 2 b 2 c 2 ,可设 a=csina, b=ccosa (a 为锐角)，因为 0 Sina 1, 0 CQSa 1 ,则 当 n 3时，
Sin rι a Sin 2 a , CQS n a CQS 2 a ,
所以 a n b n C n (Sin n a CQS n a) C n (Sin 2 a CQS 2 a) C n 。
六.单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。
证明：构造函数f(x) -(X 0),首先判断其单调性，设0 X 1 X 2 ,因为
1 X
X 1
X 2
X 1 X 2
十、
例10.已知a, b ∈ R ,求证
a b ∣ 1 a b
f(n)
n 2n 1 n n 1
2n 1 n 1
(I
H
(1
2n
- 卑卫又因为n N *且
(n 1)(2
1)
2n
所以只须证2n 2n 1，
又因为
(1 1)
n
c
n 0
C
n 1
C
n 2 C
n n1
n(n 1) n 2
2n 1 所以 f(n)
7.已知 f (x) , 1 X 2 ,求证：当a (a ) f (b )
证明：f (a ) f (b )
a 2
. 1 b 2
a 2
b 2 1 a 2
、、1 b
2
a b ∣∣a
1 a
2 . 1 b 2
a ba b
a I b
(a b
∣)a
a b 证毕。
U 0),所以t U
1 1 b C Ca
f X 2 ,所以 f(X)在［0, ］上是增函数，取
f (X I ) f (X 2)
Γ7 r (1 X 1
)(1 X 2
)
,所以
fX 1
x ι a b , X 2 a b , 显然满足 0 X i
X 2 ,
又、.n(n 1)
所以 f(a b) f(∣a ∣ ∣b ∣), 即 ∣a b| |a| |b|
1 ∣a b| 1 |a| |b|
|a| 1 |a| |b|
|b| 1 |a| |b|
旦 JbL
∏Γ∣ ∏b ∣
证毕。