利用放缩法证明数列型不等式压轴题惠州市华罗庚中学 欧阳勇摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。

处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。

对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。

关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体：一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。

设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。

证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑ =113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-；（I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥，又11217,1,212T S T ===，即当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。

用于解决积式问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。

若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N ，不等式312111(1)(1+)(1+)31nn c c c +⋅⋅>+恒成立． 证明： 32n c n =-，331313133131(1+)()323231332n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=---- 所以3121114731[(1)(1+)(1+)]311432n n n c c c n ++⋅⋅>⋅⋅⋅=+-312111(1)(1+)(1+)31nn c c c +⋅⋅>+ 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。

33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=---- 而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +==∈+，证明：1112||()65n n n x x -+-≤⋅。

证明：当1n =时，1211||||6n n x x x x +-=-=，结论成立。

当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<+<=>+点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。

例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111122,(),1n nn n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1()2n n f x x =． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （II ）求证：12231()()()1()2()()()2n n fx f x f x n nn N f x f x f x *+-<+++<∈．略解：（I ） 2nn b =，n a =，()21nn f x =-。

证明：（II ）11()21211, 1()2122(2)2n n n n n n f x f x ++--==<-- 12231()()()()()()2n n f x f x f x nf x f x f x +∴+++<．∴12231()()()12()()()2n n f x f x f x n nf x f x f x +-<+++<．反思：右边是2n ，感觉是n 个12的和，而中间刚好是n 项，所以利用1211212n n +-<-；左边是12n -不能用同样的方式来实现，想到11(())(()0)222n n f n f n -=-+>，试着考虑将12121n n +--缩小成1({}2n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。

5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。

二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。

例6已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)41021n n n a n a n ++++=+（n *∈N ）．（Ⅰ）证明数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ；（Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有34111110n S S S +++<． 略解： 223)12)(2(1-⋅++=-n n n a a （*n N ∈）， 则(21)(21)nn S n =--． nn n n n n n C C C C ++++=-1102 ，∴当3≥n 时，01122(1)n n nnn n n C C C C n -=+++≥+，则1212+≥-n n ． )12)(12(+-≥∴n n S n ，则)121121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ． 因此，)]121121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n 101)12151(21<+-=n ． 反思：为什么会想到将11(21)(21)nn S n =--放缩成1(21)(21)n n -+？联想到1111111223(1)1n n n ++=-<⋅⋅⋅++，因为要证明110<，而34111nS S S +++是一个数列前n 项的和，最后通过放缩很可能变成1()(()0)10f n f n ->的形式，而110应是由31137S =⋅放缩后裂项而成，311111()35235S <=-⋅，111(21)(21)(21)(21)nn S n n n =≤---+ 111()22121n n =--+，此时刚好得到341111111()252110n S S S n +++≤-<+，接下来就要处理1212+≥-n n，想到用二项式定理。

（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。

例7设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有30,n n n a S a >=++.(I)求12,a a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（III ）证明：21221n n nn n n a a a +-≥+。

略解：（I ）（II ）121,2a a ==，n a n =；证明（III ）012233(1),n n n n n x C C x C x C x +=++++133551(1)(1)22222n n n n n n x x C x C x C xC x nx +--=++≥=，令12x n=， 则有11(1)(1)122n n n n+--≥，从而(21)(2)(21)n n n n n n +≥+-，即21221n n nn n n a a a +-≥+。

点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。

6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。

例8在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（I ）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；（II ）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （III ）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：24+<n nS n ，*n N ∈．略解：（I ）（II ）得33a =，492a =，56a =，68a =．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2证明：（III ）由（II ），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 显然，2114341111+⨯=<==a S ； 当n 为偶数时，11480222n n n ⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭； 当n 为奇数（3≥n ）时，14144(1)8422(1)2(1)(3)2n n n n n n n S S n a n n n n n ---=+-<+-++-++++128401(1)(3)2(1)(2)(3)n n n n n n n n n ⎡⎤-=+-=-<⎢⎥+++++++⎣⎦.综上所述，402n n S n -<+，即24+<n nS n ，*n N ∈． 点评： 此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。