习题一1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列４种情况下样本的联合概率分布。

1）),1(~p B X ; 2）)(~λP X ； ３）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X 。

解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ,1122334455511155(1)(,,,,)()(1)(1)i inx x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏其中：5115ii x x ==∑2）对总体~()X P λ11223344555115551(,,,,)()!!ixni i i i i xi i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λλλλ-==-==========∏∏∏其中：5115ii x x ==∑3）对总体~(,)X U a b5511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩∏∏，其他４）对总体~(,1) X N μ()()()25555/222151111 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ---===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭∑∏2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况,现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为:1,1,1,1，２，0，0，1,3，1，0，0,2,4,0,3,1,4，0,２,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表１。

１：经验分布函数的定义式为：()()()(1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x kF x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩,据此得出样本分布函数:200,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩()n F xx图1．1 经验分布函数3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据（单位：ｃm）如下:组下限１6５１６７ 169 171 1７3１75 17７组上限167 16９171 1７3 175177 1７9人数 3 10 2１ 23 ２211 5试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形．解图1。

2 数据直方图它近似服从均值为172,方差为5。

6４的正态分布，即(172,5.64)N ．4 设总体Ｘ的方差为４,均值为μ，现抽取容量为100的样本,试确定常数k ，使得满足9.0)(=<-k X P μ。

解 ()- 5P X k P k μ⎫⎪<=<⎪⎭()()555 P k X k μ=-<-<因k 较大，由中心极限定理(0,1)X N ： ()()()-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-(5)(1(5))k k =Φ--Φ()2510.9k =Φ-=所以：()50.95k Φ=查表得：5 1.65k =，0.33k ∴=。

5 从总体2~(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本,求样本均值落在5０.8到5３.８之间的概率。

解 ()50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<< ⎪⎝⎭ (0,1) 6.3X U N =()()50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=）６ 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与１5的两个独立的样本,求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 设两个独立的样本分别为：110,,X X 与115,,Y Y ，其对应的样本均值为:X 和Y 。

由题意知：X 和Y 相互独立，且:3~(20,)10X N ，3~(20,)15Y N(0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤1P =-~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744X Y N X YN P X Y -->=-Φ=7 设110,,X X 是总体~(0,4)X N 的样本，试确定C ,使得1021()0.05ii P XC =>=∑.解 因~(0,4)i X N ,则~(0,1)2iX N ，且各样本相互独立，则有： 10122~(10)2i i X χ=⎛⎫⎪⎝⎭∑所以：10102211()()144iii i CP X C P X ==>=>∑∑1021110.0544i i c P X =⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭∑102110.9544i i c P X =⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑查卡方分位数表:c/4=18。

31，则c=73。

２４。

8 设总体Ｘ具有连续的分布函数()X F x ，1,,n X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量:1,,1,2,,0,i i i X Y i n X μμ>==≤⎧⎨⎩试确定统计量∑=ni i Y 1的分布。

解 由已知条件得:~(1,)i Y B p ，其中1()X p F μ=-． 因为i X 互相独立，所以i Y 也互相独立,再根据二项分布的可加性,有1~(,)nii YB n p =∑，1()X p F μ=-。

9 设1,,n X X 是来自总体X 的样本,试求2,,EX DX ES 。

假设总体的分布为： １）~(,);X B N p 2) ~();X P λ 3) ~[,];X U a b 4） ~(,1);X N μ 解 1) EX EX Np ==(1)DX Np p DX n n-==2(1)ES DX Np p ==-2） EX EX λ==DX DX n nλ== 2ES DX λ==3） 2a bEX EX +==()212b a DX DX n n-== ()2212b a ES DX -==４） EX EX μ==1DX DX n n== 21ES DX == 1０ 设1,,n X X 为总体2~(,)X N μσ的样本,求21()n i i E X X =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑与21()n i i D X X =⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑。

解()22212(1)(1)(1)(1)n i i E X X E n S n ES n DX n σ=⎡⎤-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=-=-∑ ()222421(1)(1)n i i n S D X X D n S D σσ=⎡⎤-⎡⎤⎡⎤-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 又因为222(1)~(1)n S n χσ--，所以：()2412(1)ni i D X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑11 设1,,n X X 来自正态总体(0,1)N ，定义：1211||,||nii Y X Y X n===∑，计算12,EY EY .解 由题意知~(0,1/)X N n ,令：Y =,则~(0,1)Y N()E Y X22||y y edy +∞-=⎰220y yedy +∞-=⎰t e dt +∞-=(1)==1((||))E Y E X ==21111(||(||))()n ni i i i E Y E X E X n n E X ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑12 设1,,n X X 是总体~(,4)X N μ的样本，X 为样本均值,试问样本容量n 应分别取多大，才能使以下各式成立：1）2||0.1E X μ-≤;2）||0.1E X μ-≤;3）(||1)0.95P X μ-≤=。

解 １)4~(,4)~(,)X N X N n μμ∴~(0,1)X U N =2E X μ-24X E n =24X X D E n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()4100.1n=+≤ 所以:40n ≥2)令~(0,1)X U N =()EE U=22u u du +∞--∞=⎰222udu+∞-==⎰所以：0.1E Xμ-=≤计算可得：225n≥3)()()111P X P Xμμ-≤=-≤-≤22P⎛⎫=-≤≤⎪⎪⎝⎭22⎛⎛=Φ-Φ-⎝⎭⎝⎭210.95=Φ-≥⎝⎭0.9751.96,15.36u n≥=≥，而n取整数，16n∴≥。

１3设1(,,)nX X和1(,,)nY Y是两个样本，且有关系式:1()i iY X ab=-（,a b均为常数，0b≠）,试求两样本均值X和Y之间的关系，两样本方差2XS和2YS之间的关系．解因：()111niiY X an b==-∑111niiX nab n=⎛⎫=-⎪⎝⎭∑()1X ab=-所以：()1EY EX ab=-即：()()()()222112221111111111=1n nY i ii ini XiS Y Y X a X an n b bX X Sn b b===⎡⎤=-=---⎢⎥--⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦∑∑∑１4 设15,,X X是总体~(0,1)X N的样本。

１） 试确定常数11,c d ，使得2221121345()()~()c X X d X X X n χ++++，并求出n ； 2) 试确定常数2c ,使得222212345()/()~(,)c X X X X X F m n +++，并求出m 和n 。

解 1）因:12~(0,2)X X N +，345~(0,3)X X X N ++~(0,1)N~(0,1)N 且两式相互独立故：222~(2)χ+ 可得：112c =，113d =，2n =.2） 因：22212~(2)X X χ+，()23452~(1)3X X X χ++,所以：()()221223452~(2,1)3XX F X X X +++，可得:23,2,12c m n ===. 15 设(),(,)p p t n F m n 分别是t 分布和F 分布的p 分位数,求证21/21[()](1,)p p t n F n --=。

证明 设1(1,)p F n α-=，则：()1(1P F p P p α≤=-⇔≤=-((12(2(12P T P T p P T p p P T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-12()p tn -=故:2112()(1,)p p tn F n α--==.１6 设21,X X 是来自总体)1,0(~N X 的一个样本,求常数c ，使：1.0)()()(221221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-+++c X X X X X X P 。