五校联考提前招生数学模拟试卷（二）
命题： 审题： 时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）
1．设213a a +=，2
13b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b
+的值为 （ ）
A 5
B 7
C 9
D 11
2．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．
（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 3. 若整数a ，m ，n 满足n m a -=
-242
，则这样的a ，m ，n 的取值 （ ）
A 有一组
B 有两组
C 多于两组
D 不存在
4．如图，ABC ∆中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::=EC DE BD ，
M 在AC 边上，2:1:=MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，
则GM HG BH ::等于 ( )
A ．1:2:3
B ．1:3:5
C ．5:12:25
D ．10:24:51
（第4题）
5. 黑板上写有1
11
12
3100
， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个
数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上
剩下的数是（ ）．
（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99
6．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．
（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）
7. ,a b 为实数，且满足2
2
80,150ab a b a b ab ++-=+-=，则2
()a b -= 8．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y x =的图象上运动，动点
N 在x 轴上运动，则AMN 的周长的最小值为 9. 如右图，△ABC 内接于⊙O ，BC = a ，CA = b ，∠A －∠B = 90°，
则⊙O 的半径为
（第9题图）
10. 在⊿ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１３，ＢＣ边上的高ＡＤ＝１２，能完全覆盖 ⊿ＡＢＣ的圆的半径Ｒ的最小值为_________
11. 如图，E 、F 分别是 A B C D 的边AB 、CD 上的点，
AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，
若S
△APD 15
=2cm ，S △BQC 25=2cm ，则阴
影部分的面积为 2
cm ．
12．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）
是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）
均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c
的取值范围是 . 三、解答题（共4小题，每小题15分，共60分.）
13. 如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交
y 轴正半轴于点C 。
（1）求点C 的坐标；
（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一
点D ，使四边形BOCD 为直角梯形， 求直线BD 的解析式。
B
（第11题）
14. 如图，正方形BCEF 的中心为O ，△CBO 的外接
圆上有一点A （A 、O 在BC 同侧，A 、C 在BO
异侧），且4AB AO == （1）求CAO ∠的值； （2）求tan ACB ∠的值； （3）求正方形BCEF 的面积
15. 已知质数p 、q 使得代数式21p q +和23
q p
-都是自然数，试求p 2q 的值.
16. 已知抛物线2
y ax bx c =++ 经过点（1，2）。
（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且⊿ABC 为等边三角形，
求b 的值；
（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求 |a | ＋ |b | ＋ |c | 的最小值。
五校联考提前招生数学模拟试卷（二）
一．选择题：1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 二．填空题：7. 13 8.
26 9. 222
1b a + 10. 65∕8 11. 40
12.
1253≤<-c
a
三．解答题：
13. 解：如图，连结AC ，CB 。
依相交弦定理的推论可得OC 2=OA ·OB ，解得OC =2。
∴C 点的坐标为（0，2）
（2）解法一：设抛物线解析式是y =ax 2+bx +c (a ≠0)。
把A （-1，0），B （4，0），C （0，2 016402
a b c a b c c -+=
⎧⎪
++=⎨⎪=⎩，解之得 1
2
322
a b c =-
==
∴抛物线解析式是213
222
y x x =-
++。
解法二：设抛物线解析式为(1)(4)y a x x =+-
把点C （0，2）的坐标代入上式得12a =-。
∴抛物线解析式是213
222
y x x =-++。
（3）解法一：如图，过点C 作CD ∥OB ，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形。
设点D 的坐标是（x ，2）代入抛物线解析式整理得x 2-3x =0，解之得x 1=0，x 2=3。
∴点D 的坐标为（3，2） 设过点B 、点D 的解析式为y =kx +b 。
把点B （4，0），点D （3，2）的坐标代入上式得 40
32k b k b +=⎧⎨+=⎩
解之得28k b =-⎧⎨=⎩
∴直线BD 的解析式为y =-2x +8
解法二：如图，过点C 作CD ∥OB ，交抛物线于点D ，则四边形BOCD 为直角梯形。
由（2）知抛物线的对称轴是3
2
x =
， ∴过D 的坐标为（3，2）。
（下同解法一）
14.(1)45 (2)
3
1
(3)80 15. 先设p q ≥，则有2312q p -≤
<。
于是，只能23
1q p
-=，即23p q =-， 此时
214554p q q q q +-==-，要使
21
p q
+是自然数，只能有5q =，从而7p =； 再设p ＜q ,这时21
13p q
+≤
，可分为以下两种情况： （1）
211p q
+=，q =2p +1，此时，
2341
4q p p --=，得p =1（不合题意） （2）
21
2p q
+=，即2p +1=2q ，左边为奇数，而右边为偶数，矛盾。
故满足条件的7p =、5q =，于是2
495245p q =⨯=。
16. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 2
4）
设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC |＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2
－4c
即b 2－4c ＝23²b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3
∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5 ⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾.∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a ∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4
a
＝0的两实根．
∴△＝（2－a ）2－4³4
a ≥0， ∴a 3－4a 2＋4a －16≥0, 即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4.
∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．
①若a 、b 、c 均大于０，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0,
则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2，∵ a ≥4，故2a －2≥6 当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6．。