应力状态 强度理论1. 图示单元体，试求(1) 指定斜截面上的应力；(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。

解：(1)MPa 6.762sin 2cos 22=--++=ατασσσσσαx yx yxM P a7.322cos 2sin 2-=+-=ατασσταx yx (2)22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02=σ，98.1213-=σ35.3940200arctan 21)2arctan(210==--=y x xy σστα2.解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ 由02cos 2sin 2120=+-=ατασστxy yx得125-=yσMPa所以22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=20010015050)9.129(755022-=±-=-+±-= MPa1001=σMPa ，02=σ，2003-=σ MPa3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。

解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPaMPa由 ατασστ2cos 2sin 245xy yx +-=802150-=-=x σ得 10-=x σ MPa 所以22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=22.7422.214-= MPa22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。

求靠圆筒内壁任一点处的主应力。

解：75.505.032)1.0104.0(π10192.0443=⨯-⨯=x τMPa504==t pd x σ MPa1002==tpd y σ MPa35.497.100)2(222min max =+-±+=xy y x y xτσσσσσσ MPa7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。

解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++='45-M e40120sin 20120cos 21002100=--++=yyσσ得1.43=yσMPa22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=77.3633.106=MPa 33.1061=σMPa ，77.362=σMPa ，03=σ6.解：22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=16.4216.5216.47540252203022-=±=+±-=所以2.521=σMPa ，102=σMPa ，16.423-=σMPa2.47231max =-=σστMPa7. 图示工字形截面梁AB ，截面的惯性矩61056.72-⨯=z I m 4，求固定端截面翼缘和腹板交界处点a 的主应力和主方向。

解：17.361056.7207.075.0105063=⨯⨯⨯⨯=-σ MPa （压应力）8.81056.7203.01085301501050693=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--τMPa22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=2.3803.2-= MPa03.21=σ MPa ，02=σ，2.383-=σ MPa05.7717.368.82arctan 21)2arctan(210=⨯-=--=y x xy σστα50kN AB0.75mσ305.77τaσaσ18. 图示矩形截面拉杆受轴向拉力F ，若截面尺寸b 、h 和材料的弹性模量E ，泊松比ν均已知，试求杆表面 45方向线段AB 的改变量=∆AB L ？ 解：bhFx=σ，0=y σ，0=xy τ bh F2=ασ，bh F 22=+απσ（ 45=α所以)1(2)22(145v EbhFbh F bh F E -=-=νεEbF Ebh Fh AB L AB 2)1(2)1(2245ννε-=-⨯==∆ 9. 一边长为50 mm 的正方形硬铝板处于纯剪切状态，若切应力80=τ MPa ，并已知材料的弹性模量72=E GPa ，泊松比34.0=ν。

试求对角线AC 的伸长量。

解：8045=σMPa ，80135-= σMPa39451048.1)8034.080(10721-⨯=⨯+⨯=ε 25=AC L00105.01048.1253=⨯⨯=∆-AC Lmm10. 一变形体A 四周和底边均与刚性边界光滑接触，上边受均布压力0σ。

已知材料的的弹性模量E ，水平方向上的应变和应力。

解：0σσ-=y，z x σσ=，0==z x εε0)]([1=+-=z y x x E σσνσε，得到10-==ννσσσz x )121()]12([1)]([12000ννσννσνσσσνσε---=---=+-=E E E z x y y11. 设地层由石灰岩组成，其密度3105.2⨯=ρ kg/m 3，泊松比2.0=ν。

计算离地面200m 深处的地压应力。

解： 9.42008.9105.23-=⨯⨯⨯-=y σ MPaz x σσ=，0==zx εε0)]9.4(2.0[1=+-⨯-=z x x Eσσε得到22.1-==zx σσ MPa12. 一体积为101010⨯⨯ mm 3的立方铝块，将其放入宽为10 mm 的刚性槽中。

已知铝的泊松比ν33.0=解： 6001.001.010633-=⨯⨯-=σMPa,01=σ由0)6033.0(122=⨯+=σεE得8.192-=σ13. 直径为D 的实心圆轴，受外力偶e M 作用如图。

测得轴表面点A 与轴线成 45方向的线应变为ε，试导出用e M 、D 、ε表示的切变弹性模量G 的表达式。

解：τσ=-45，τσ-=45τνε)1(145+=E，所以ετG 2=又316D M e πτ=，所以ED M G e 38π=14. 直径100=d mm 的圆轴，受轴向拉力F 和力偶矩e M 作用。

材料的弹性模量200=E GPa ，泊松比3.0=ν。

现测得圆轴表面200mσxσzσy的轴向线应变6010500-⨯=ε，45方向的线应变64510400-⨯=ε，求F 和e M 。

解：7850=⋅=A E F ε kN 设力偶矩引起的切应力为ττσ+=-5045，τσ-=5045)(1454545 νσσε-=-E ]10)50(3.010)50[(102001669⨯-⨯-⨯+⨯=ττ610400-⨯=6.34=τ MPa ，又3)1.0(π16⨯=M τ8.6=e MkN ·m15. 直径100=d mm 的实心钢球，受静水压力42=p MPa 作用。

求直径和体积的缩减量。

设钢球的弹性模量210=E GPa ，泊松比3.0=ν。

解：因为42321-=-===q σσσ MPa所以333211024.042310210)3.021()(21-⨯-=⨯⨯⨯⨯--=++-=σσσνθE 533211108102108.16)]([1-⨯-=⨯-=+-=σσνσεE 得23310257.1100)6(1024.0--⨯-=⨯⨯⨯-==∆πθV Vmm 3351108100108--⨯-=⨯⨯-==∆d d εmm16. 边长10=a 0 mm 的立方体，已知弹性模量200=E GPa ，泊松比3.0=ν。

如将立方体沉入100 m 深的水中，求其体积变化。

解：因为1321-=-===gh ρσσσMPa)(21321σσσνθ++-=E 63106)3(102006.01-⨯-=-⨯⨯-=61.01.01.01066-=⨯⨯⨯⨯--==∆-V V θmm 3ττ17. 图示拉杆，F ，b ，h 及材料的弹性常数E 、ν均为已知。

试求线段AB 的正应变和转角。

解：bhF x =σ，bhF 213545==σσ所以)1(2)(!13545ννσσε-=-=bhEF E AB 又因为bhE F x =ε，bhEFv y -=ε所以bhEv F bhE vF bhE F AB )1()(45+-=+-== γϕ18. 图示曲拐ABC 在水平面内，悬臂端C 处作用铅垂集中力F 。

在上表面E 处，沿与母线成 45方向贴一应变片，已测得线应变45ε，求载荷F 值。

已知长度l 、a 、直径d 及材料的常数E 、v 。

解：应力状态如图示，332d Fl πσ=，316d Fa πτ=τσσ+=245，τσσ-=-245所以)(!454545--=σσεv E所以)1(16)1(16345v a v l dE F ++-=πε19. 三个弹性常数之间的关系：)]1(2/[ν+=E G 适用于 (A)任何材料在任何变形阶段； (B)各向同性材料在任何变形阶段；(C)各向同性材料应力在比例极限范围内； (D)任何材料在弹性变形范围内。

答：C20. 一实心均质钢球，当其外表面处迅速均匀加热，则球心O 点处的应力状态。

(A)单向拉伸应力状态； (B)二向拉伸应力状态； (C)三向等值拉伸应力状态； (D)三向压缩应力状态。

答：C/2στσ/2σ21. 混凝土立方体试样作单向压缩试验时，若在其上、下压板面上涂有润滑剂，则试样破坏时将沿纵向剖面裂开的主要原因。

(A)最大压应力； (B)最大切应力； (C)最大伸长线应变； (D)存在横向拉应力。

答：C22. 已知单元体的主应力为1σ，2σ，推证两相互垂直的截面上的正应力之和为常数 。

证：ασσσσσα2cos 222121-++=)90(2cos 222121︒+-++=ασσσσσβ=+=+21σσσσβα常数 得证。

23. 受内压的薄壁圆筒，已知内压为p ，平均直径为D ，壁厚为t ，弹性常数为E 、ν。

试确定圆筒薄壁上任一点的主应力、主应变及第三、第四强度理论的相当应力。

解：tpD 21=σ，tpD 42=σ，03=σ)2(4)42(1)(1211νννσσε-=-=-=tE pD t pD t pD E E)21(4)24(1)(1122νννσσε-=-=-=tE pD t pD t pD E EtEpD t pD E E 43]430[1)](0[1213ννσσνε-=-=+-=tpD231r3=-=σσσ])()()[(21213232221r4σσσσσσσ-+-+-=t pD 43=24. 图示正方形截面棱柱体，弹性常数E 、ν均为已知。