习题解答2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2．信号分类的方法有哪些？2-3．求正弦信号()t A t x ωsin =的均方值2x ψ。
解：()24sin 4222cos 12sin 2sin 11222022022022022A T T A T dtt A T tdt A T dtt A T dt t x T T T T T x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-====⎰⎰⎰⎰ωωωωωψ 也可先求概率密度函数：221)(xA t p -=π则：⎰∞∞-==2)(222A dx x p x xψ。
2-4．求正弦信号())sin(ϕω+=t A t x的概率密度函数p(x)。
解： 2221)(111,arcsinxA Ax A dx dt A x t -=-=-=ωωϕω代入概率密度函数公式得：22222200122221lim 1lim)(xA x A x A T T dt dx T t x x p x x -=-=-=⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆=∑→∆→∆πωπωωx2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在x(t)的一个周期中可表示为⎩⎨⎧<<≤=21)(11T t T T t t x该信号基本周期为T ，基频0=2/T ，对信号进行傅里叶复指数展开。
由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。
计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：TT dt T a c T T 1002111===⎰-当n 0时，110110011T T tjn T T t jn n e Tjn dt e Tc -----==⎰ωωω最后可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-j e e T n c t jn t jn n 22000ωωω注意上式中的括号中的项即sin (n 0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn 可表示为0)(sin 2)sin(210010≠==n T n c TT n T n c n ，ωπωω其幅值谱为：)(sin 211T n c TT c o n ω=，相位谱为：ππϕ-=,,0n 。
频谱图如下：nC TT /211/T πω00ωnC TT /211/T πω00ωn ϕπ2-6．设cn 为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。
即：若有()n FSc t x −→←则 ()n t j FSc et t x 000ω±−→←±证明：若x(t)发生时移t0（周期T 保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为()⎰-=Ttj n dt e t x T c 01'ω 令0t t -=τ，代入上式可得()()nt j Tj t j T t j n c e d e x T e d e x Tc 000000011)('ωτωωτωττττ---+-===⎰⎰因此有()n t T j n t j FSc e c e t t x 000)/2(0πω--=−→←-同理可证()n t T j n t j FSc e c e t t x 000)/2(0πω++=−→←+证毕！2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度 解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数)(sin 2110110T n c TT dt e T C T T tjn n ωω==⎰-- 则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有)()(sin 22)(0101ωωδωπωn T n c TT X n -=∑∞-∞=此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0ω以及所有谐频处，其脉冲强度为01/4T T π被)(sin t c 的函数所加权。
与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。
2-8．求符号函数的频谱。
解：符号函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧=<->=000101)(t t t t x 可将符号函数看为下列指数函数当a 0时的极限情况解 ⎩⎨⎧><-==0)sgn()(t et e t t x atat()()fj fjf j a f j a dt e e dt e e dt e t x f X a ft j at ft j at a ft j πππππππ12121lim ..lim 0020202=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==→∞--∞--→∞+∞--⎰⎰⎰2-9．求单位阶跃函数的频谱：解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即S ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0002/101)(t t t t[])sgn(121)(t t +=μ 所以：2-10．求指数衰减振荡信号()t e t xat 0sin ω-=的频谱。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=f j f f πδμ1)(21)(解：)(2sin sin 21sin 21)(0000)(000t j t j t j a t j ate e jt td e dt e t e X ωωωωωωπωπω-==⋅=-+-∞--∞⎰⎰ []22000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)(00ωωωπωωωωππωωωωω++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++=-=-+-++-∞⎰j a j j a j j a j dte e j X t j j a tj j a2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 ()()f X t x FT−→←则 ()()020f f X et x FT tf j −→←±π 证明：因为 )(][020f f e F tf i δπ=±又因为 ()()][*00202t f i FTtf j e F f X e t x ππ±±−→←()()()0002)(*0f f X f f f X e t x FTt f j =−→←±δπ证毕！2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性 即：若 ()()f X t x FT−→←则 ()()f Xt x FT-−→←**式中x*(t)为x(t)的共轭。
证明： ()⎰∞+∞-=df e f X t x ft j π2)(由于()⎰⎰∞+∞-∞+∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dte t x dt e t xf X ft j ft j ππ2**2*)()( 上式两端用 -f 替代 f 得()⎰∞+∞--=-dt e t x f X ft j π2**)(上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即()()f X f X *=-2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 ()()f X t x FT−→←则 ()()f x t X FT-−→←证明：由于 ⎰∞+∞-=df e f X t x ft j π2)()(以 -t 替换 t 得()⎰∞+∞--=-df e f X t x ft j π2)(上式 t 与 f 互换即可得()⎰∞+∞--=-dt e t X f x ft j π2)(即 ()()f x t X -↔ 证毕。
特殊情况,当()x t 为偶函数时，()()f x t X FT−→←2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：()212t t g +=且已知()2222)()(f a a f X et x FT ta π+=−→←=-解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。
代入a=2，根据傅里叶变逆换有()()⎰⎰∞+∞-∞+∞--+=+⨯=df e f df e f eftj ftj tπππππππ22222212212222等式两端同时乘以2，并用-t 替代变量t 得⎰∞+∞---+=dt e f eftj tπππ222122交换变量t 和f 得⎰∞+∞---+=dt e t eftj fπππ222122上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以f FTe f G t t g ππ222)(12)(-=−→←+=例2-4 求如图2-27（a ）矩形脉冲信号x(t)的频谱密度，已知11,0,1)(T t T t t x ><⎩⎨⎧=解：根据式（2-71），信号的傅里叶变换为11112222)2sin(22)2sin(221)()(1111fT fT T f fT e fj dte dt et x f X T T ftj T T ft j ftj ππππππππ==-===----∞+∞--⎰⎰)2(sin 2)(11fT c T f X π=|)2(sin |2)()(11fT c T f X f A π== ,2,1,0)121()21(0)(1111=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<++<<=n T n f T n T n f T nf πϕ该矩形脉冲信号的频谱密度如图2-27（b ）所示，它是一个sinc （t ）型函数，并且是连续谱，包含了无穷多个频率成分，在 ,1,2111T T f ±±=处，幅值谱密度为零，与此相应，相位出现转折，这表明了幅值谱密度与相位谱密度之间的内在关系，在正频率处为负相位)(π-，在负频率处为正相位)(π。
2-15．所示信号的频谱)5.2()5.2(21)(21-+-=t x t x t x 式中x1(t), x2(t)是如图2-31b ），图2-31c ）所示矩形脉冲。
解：求得x1(t), x2(t)的频谱分别为f f f X ππsin )(1=和fff X ππ3sin )(2= 根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=-f f ef X fj ππππ3sin sin )(215)(t x 图2-27 矩形脉冲信号的频谱密度)(t x 1T -1T 0t )(f X 11T -0f 121T -11T 121T 12T 12T )(f A 0f11T 121T 121T -11T -)(f ϕπ11T -121T -0121T 11T f（a ） （c ） （b ） （d ） π-图2-31例2-3已知单位阶跃函数⎩⎨⎧<≥=0001)(t t t u ，信号0),()(>=-a t u e t x at，求)(t x 的频谱密度。
解：由式（2-71）∞+-∞∞---+-==⎰0)2(221)(tf j a ft j at e fj a dt e e f X πππfj a f X π21)(+=所以，幅值谱密度和相位谱密度分别为：()afarctgf X f f a f X f A πϕπ2)()(21)()(22-=∠=+== 如图2-26所示。