换底公式的五个推论及其证明
换底公式是指在对数运算中，当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。

它有五个常用的推论，分别是：
推论一：对数的乘法规则
对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。

推论二：对数的除法规则
对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。

推论三：对数的幂次规则
对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M)，其中a表示底数，M 表示正数，k表示任意实数。

该公式表明，一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。

推论四：对数函数的换底公式
对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，其中a 和b分别表示底数，M表示正数。

该公式表明，如果要求一些正数的以a 为底的对数，可以将其转化为以b为底的对数进行计算，其中b可以是任意一个正数。

推论五：自然对数的换底公式
自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，其中M表示正数，e表示自然对数的底数。

该公式表明，如果要求一些正数的自然对数，可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。

下面对这五个推论进行证明：
证明推论一：
假设loga(M×N) = x，根据对数的定义可得a^x = M×N。

又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。

同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。

将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N，即a^(y+z)=M×N。

由指数运算的性质可知，a^(y+z)=a^x，因此得到x=y+z。

即loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，推论一得证。

证明推论二：
假设loga(M÷N) = x，根据对数的定义可得a^x = M÷N。

又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。

同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。

将上述三式相除可得(a^y)/(a^z)=M÷N，即a^(y-z)=M÷N。

由指数运算的性质可知，a^(y-z)=a^x，因此得到x=y-z。

即loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，推论二得证。

证明推论三：
假设loga(M^k) = x，根据对数的定义可得a^x = M^k。

又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。

将上述两式相乘可得(a^y)^k = M^k，即a^(yk) = M^k。

由指数运算的性质可知，a^(yk) = a^x，因此得到x = yk。

即loga(M^k) = k*loga(M)，推论三得证。

证明推论四：
假设loga(M) = x，根据对数的定义可得a^x = M。

又假设logb(M) = y，根据对数的定义可得b^y = M。

将上述两式同时取以b为底的对数得到logb(a^x) = logb(M)。

根据推论一可知logb(a^x) = xlogb(a)，将其代入上式得到xlogb(a) = y。

将上述等式移项可得x = y/logb(a)。

即loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，推论四得证。

证明推论五：
假设ln(M) = x，根据自然对数的定义可得e^x = M。

又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。

根据推论四可得loga(M) = (log10(M))/(log10(a))。

由换底公式可知log10(a) = ln(a)/ln(10)，将其代入上式得到
y = (log10(M))/(log10(a)) = (ln(M))/(ln(a))。

即ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，推论五得证。

综上所述，推论一至五的证明完成。