二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。

2.二次函数y=mx 2+x ﹣2m （m 是非0常数）的图象与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3.已知抛物线y=x 2﹣x ﹣1，与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2﹣m+2014的值为（ ）A ．2013B ．2015C ．2014D ．20104.若二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2+bx=5的解为（ ）A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=1，x 2=5C ．x 1=1，x 2=﹣5D ．x 1=﹣1，x 2=55.（2015•杭州模拟）关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣n=0没有实数根，则抛物线y=x 2﹣x ﹣n 的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点二 二次函数与不等式例1. 已知抛物线y=x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜4B ．﹣1＜x ＜3C ．x ＜﹣1或x ＞4D ．x ＜﹣1或x ＞3例1图 例2图 例3图① 例3图②例2.如图，已知二次函数y 1=x 2﹣x 的图象与正比例函数y 2=x 的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜2B ．0＜x ＜3C ．2＜x ＜3D ．x ＜0或x ＞3例3.二次函数y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A．t≥-1 B．-1≤t＜3 C．-1≤t＜8 D．3＜t＜8【变式练习】1.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4第1题图第2题图第4题图2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解是．3. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a，x2=b（a＜b），则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（）A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b4. 二次函数y=x2+bx的图象如图所示，对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x＜6的范围内无解，则t的取值范围是．考点三二次函数解析式的求法例1. （1）已知二次函数的图象经过A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，求此二次函数的解析式．解：设二次函数的解析式为______________________，由题意得：解得：∴二次函数的解析式为______________________．（2）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，求此二次函数的解析式．解：依题意可设这个函数的解析式为__________________，∵这个函数的图象经过点_____________，∴_________________________________，解得：__________________，∴二次函数的解析式为__________________．例2. 将抛物线y=（x-3）2+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为例3.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，连接PA、PB，当S△PAB=8时，点P的坐标为．例4. 已知：二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ，点D （﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA+PD 的最小值；（3）若抛物线上有一动点P ，使三角形ABP 的面积为6，求P 点坐标．【变式练习】1.（1）已知二次函数的图象经过A (-4，0)，B (2，0)，C (1，-5)三点，求此二次函数的解析式．（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求此二次函数的解析式．2. 若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）A. ()2y x 23=++B. ()2y x 23=-+C. ()2y x 23=+-D. ()2y x 23=--3.如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B （0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（ ）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=x 2﹣x+2C ．y=x 2+x ﹣2D ．y=x 2+x+24. 已知二次函数y=x2﹣2x﹣1．（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标；（2）将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象．5.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）用配方法求该抛物线的对称轴以及顶点D坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一动点P，使得△ACP的周长最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．【中考链接】1.（2015贵州毕节）二次函数y=a 2x +bx+c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）A ．a ＜0B ．b ＞0C ．2b ﹣4ac ＞0D ．a+b+c ＜02.（2016•宁阳县模拟）二次函数y=x 2﹣（m ﹣1）x+4的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．1或﹣3B ．5或﹣3C ．﹣5或3D ．以上都不对3.（2016•汶上县二模）二次函数y=x 2﹣2x ﹣2与坐标轴的交点个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【课后作业】1.如图，二次函数32++=bx ax y 的图象经过点()()0,3,0,1B A -，那么一元二次方程02=+bx ax 的根是 ．第1题图第2题图第4题图2.二次函数y=kx 2﹣6x+3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜3B ．k ＜3且k≠0C ．k≤3D ．k≤3且k≠03.（2015•夏津县校级自主招生）如图，抛物线与x 轴的两个交点A （﹣3，0），B （1，0），则由图象可知y ＜0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜﹣3D ．0＜x ＜14.如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是()21y x 649=--+，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是 ． 5. .二次函数图象的顶点坐标是(-2，-3)，且过点(1，9)，求此二次函数的解析式．6.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点D 为该抛物线的顶点，设点E （m ，0）（m ＞2），如果△BDE 和△CDE 的面积相等，求E点坐标．。