北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）数 学 试 卷2012．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1.15-的相反数是 A. 5 B. 15 C. 15- D. -52.根据国家财政部公布的2011年全国公共财政收入情况的数据显示，全国财政收入103 740亿元，这是我国年度财政收入首次突破10万亿. 将103 740用科学记数法表示应为 A. 10.374×104 B. 0.10374×105 C. 1.0374×105 D. 1.0374×106 3．如图，已知//,,33AB CD BC ABE C BED ∠∠=︒∠平分，则的度数是A.16︒B. 33︒C. 49︒D. 66︒4．如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，=150B ∠︒，则平行四边形ABCD 的面积为A. 2B. 3C. 33D. 65. 某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛.小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的 A. 中位数 B. 众数C. 平均数D. 极差 6．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠C 等于A. 116°B. 64°C. 58°D. 32°7. 甲盒子中有编号为1，2，3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4，5，6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为 A ．94B ．95C ．32D ．97 8. 如图，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止.设△AMN 的面积为y （cm 2），运动时间为x （秒）， 则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 不等式512422x x ->+的解集为________________. 10. 分解因式：214x y xy y -+ =________________.11. 若把代数式242x x -+化为2()x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k = .12. 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：01124tan60(2)3--︒--+． 14. 解分式方程312212x x x -=++．15．先化简，再求值：已知2320x x --=，求代数式(1)(1)(23)x x x x +---的值. 16. 如图，点B C F E 、、、在同一直线上，12∠=∠，BF EC =，要使ABC ∆≌DEF ∆，还需添加的一个条件是 （只需写出一个即可），并加以证明．17. 定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]21m +，的一次函数为正比例函数，求m 的值；（2）已知抛物线()(2)y x n x =+-与x 轴交于点A B 、，其中0n >，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且OAC △的面积为4，O 为原点，求图象过A C 、两点的一次函数的特征数．18.列方程或方程组解应用题:食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E 作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ， 且EF =EC ． （1）求证：CD =AE ； （2）若DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为 32cm ，求CG的长．20. 为了了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ； （2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中，估计有多少人体能达标？21. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，CA 是⊙O 的切线， AE 平分∠BA C 交BC 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：CE =CF ； （2）若sin B =35，求DF ∶CF 的值．22. 在ABC △中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △三边的长分别为2a 、13a 、17a （0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若ABC △中有两边的长分别为2a 、10a （0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．24. 已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），分别以AB 、AP为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ,连结QE 并延长交BP 于点F .（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关系式．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数232y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷参考答案2012．5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号1 2 3 45 6 7 8 答 案B C D BA DC C二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号9 10 11 12 答 案x ＞321()2y x -42三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解: 原式1234313=--+………………4分 2233=--. ………………5分 14．（本小题满分5分） 解：312212x x x -=++去分母得321x x -=+ ………………3分解得23x =. ………………4分 经检验：23x =是原方程的解. 所以 原方程的解是23x =. ………………5分 15．（本小题满分5分）解：原式=(1)(1)(23)x x x x +---=22123x x x --+ ………………2分 =231x x -+-. ………………3分∵ 2320x x --=，∴ 232x x -=. ………………4分 ∴原式=-3 . ………………5分 16．（本小题满分5分）解：可添加的条件为：AC DF B E A D =∠=∠∠=∠或或（写出其中一个即可）. …1分证明：∵ BF EC =， ∴ BF CF EC CF -=-.即 B C E F = . -------2分 在△ABC 和△D EF 中，,12,,AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△DEF . --------5分17．（本小题满分5分）解：(1) 由题意得 10m +=.∴ 1m =-. -------1分（2）由题意得 点A 的坐标为（-n ，0），点C 的坐标为（0，-2n ）. ………………2分∵ OAC △的面积为4，∴1242n n ⨯= . ∴ 2n =.∴ 点A 的坐标为（-2，0），点C 的坐标为（0，-4）. …………………………3分 设直线AC 的解析式为 y kx b =+.∴ 02,4.k b b =-+⎧⎨-=⎩∴ 2,4.k b =-⎧⎨=-⎩ …………………………4分∴ 直线AC 的解析式为 24y x =--. ∴ 图象过A C 、两点的一次函数的特征数为[]24--，. ………………………5分18．（本小题满分5分）解法一：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了（100-x ）瓶.…………………………2分 依题意，得 2x +3(100-x )=270 . …………………………3分 解得 x =30， 100-x =70 . …………………………4分 答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 解法二：设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶.…………………………………1分依题意，得 10023270.x y x y +=⎧⎨+=⎩，…………………………………3分解得 30,70.x y =⎧⎨=⎩ …………………………………4分答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶. …………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分） 解：（1）证明：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵ EF ⊥CE ， ∴ ∠FEC =90°．∴ ∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴ ∠AEF =∠ECD ． …………………………1分又∠F AE =∠EDC =90°，EF =EC ，∴ Rt △AEF ≌Rt △DCE ． ∴ AE =CD ． …………………………2分（2）∵ AD =AE +4，∵ 矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴ 2（AE +AE +4）=32． ．解得 AE =6． …………………………3分∴ AF =4，BF =2. 由AD ∥BC 可证 △AEF ∽△BGF ．…………………………4分 ∴2AE AFBG BF==． ∴ BG =3.∴ CG =13. …………………………5分20.（本小题满分5分）解：(1) 50，5； …………………………2分 (2) 如图所示：…………………………3分(3) 252)501041(350=+-⨯ . 答：估计有252人体能达标. ………………………………5分21．（本小题满分5分） 解：（1）证明：∵ BC 是直径，∴ ∠ADC =90°.∴∠1+∠3=90°. ………………1分∵ CA 是圆的切线， ∴ ∠ACB =90°.∴∠2+∠4=90°. ………………2分∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2.∴ ∠3=∠4. ∵ ∠3=∠5， ∴ ∠4=∠5.∴ CE =CF . ………………3分（2）过点E 作EG ⊥AB 于点G . ………………4分 ∴ EG =EC ，CD ∥EG . ∴ EG = CF .∴DF ADEG AG=. 又易证 AG =AC . ∴DF ADFC AC=. 又可证 ∠ACD =∠B . ∴DF ∶CF 的值为35. ………………5分 22．（本小题满分5分） 解：（1）ABC △的面积为72； …………………… 1分（2）ABC △的面积为252a ；…………………………3分（3）图中三角形为符合题意的三角形.…………………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441m m ++ =2(21)m +∵ 2(21)m +≥0， ∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根. ………………2分（2） 解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得 1231,= x m x m =+. ………………3分由题意得 312,3177. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 ………………4分 解得 173m <<. ………………5分（3）符合题意的n 的取值范围是 91544n <<. ……………7分24. （本小题满分7分）解：（1）EF =2． ……………1分（2）EF =BF ． ……………2分证明： ∵ ∠BAP=∠BAE -∠EAP=60°-∠EAP ，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP ， ∴ ∠BAP=∠EAQ ． 在△ABP 和△AEQ 中， AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ， ∴ △ABP ≌△AEQ ． ∴ ∠AEQ=∠ABP=90°． ∴ ∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒． 又∵ ∠EBF =90°-60°=30°， ∴EF =BF ． ……………4分(3) 在图1中，过点F 作FD ⊥BE 于点D ． ∵ △ABE 是等边三角形, ∴ BE=AB=32．由（2）得 =∠EBF 30°， 在Rt △BDF 中，3BD = ．∴ BF=2cos30BG=︒．∴ EF =2 ． ∵ △ABP ≌△AEQ , ∴ QE=BP=x ．∴ QF =QE ＋EF 2x =+． ∴ 以QF 为边的等边三角形的面积y=2233(2)3344x x x +=++ ．…7分25．（本小题满分8分） 解:(1) ∵ 点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴ 30,29330.2b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得 3,33.2b c ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∴ 二次函数解析式为2333322y x x =--. ……………2分 （2）可求点C 的坐标为（1，23-）∴ 点D 的坐标为（1，23）.可求 直线AD 的解析式为 33y x =+ . 由题意可求 直线BK 的解析式为333y x =-. ∵ 直线l 的解析式为3333y x =+, ∴ 可求出点K 的坐标为(5,23).易求 4AB BK KD DA ==== .∴ 四边形ABKD 是菱形.∵ 菱形的中心到四边的距离相等，∴ 点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，3 ） . ……………5分(3) ∵ 点D 、B 关于直线AK 对称,∴ DN MN +的最小值是MB .过K 作KF ⊥x 轴于F 点.过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q ,∴ KP ⊥AD .∵ AK 是∠DAB 的角平分线,∴ 23KF KQ PQ ===.∴MB MK +的最小值是BP .即BP 的长是DN NM MK ++的最小值.∵ BK ∥AD ,∴ 90BKP ∠=︒.在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.∴DN NM MK ++的最小值为8.……………8分。