东城区2019-2019学年度第一次模拟检测
初三数学试题参考答案及评分标准 2019.5
二、填空题（本题共16分，每小题 2
分）
9. 1x
≥ 10. ()()22n m m +- 11. 8 12. 2x 13. ②③
14. 2y x =+ 15. 答案不唯一 ，理由须 支撑推断结论 16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义
三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）
=217.解：原式分
分
18. 解：4+6,23
x x x x ⎧⎪
⎨+⎪⎩①②＞≥，
由①得，-x ＞2，------------------1分
由②得，1x ≤， ------------------2分 ∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.
所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分
19.证明： ∵∠BAC =90°，
∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，
∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,
∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分
∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .
∴AE =AF . -------------------5分
20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2
=+1m ∵()2
+10m ≥，
∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分 （2）解：由求根公式，得()()1,231=2
m m x +±+，
∴1=1x ，2=+2x m . ∵方程有一个根的平方等于4， ∴()2+24m =.
解得=-4m ，或=0m . -------------------5分 21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ， ∴=AB DC ，AB DC ∥.
∵AB =AE ，
∴=AE DC ，AE DC ∥.
∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分 (2) ∵=AB AC ， ∴=AE AC .
∴平行四边形ACDE 为菱形. ∴AD ⊥CE . ∵AD BC ∥， ∴BC ⊥CE.
在Rt △EBC 中，BE =6, 1
cos 3
BC B BE ==, ∴=2BC .
根据勾股定理，求得BC 分
22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()3
0y x x
=＞的图象上， ∴=1n ，点()3,1A .
∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ， ∴ 321a -= .
解得 1a =. ----------------------2分 (2)易求得()0,2B -.
如图，12AOB A S OB x =⋅△，1
=2ABC A S BC x ⋅△
∵=2ABC AOB S S △△，
∴=24BC OB =.
∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分 23. （1）证明：连接OC . ∵CD CB =
∴∠1=∠3. ∵OA OC =， ∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2. ∴AE OC ∥. ∵AE EF ⊥， ∴OC EF ⊥.
∵ OC 是O 的半径，
∴EF 是O 的切线. ----------------------2分 （2）∵AB 为O 的直径， ∴∠ACB =90°.
根据勾股定理，由AB =5,BC =3,可求得AC =4. ∵AE EF ⊥ ， ∴∠AEC =90°. ∴△AEC ∽△ACB . ∴
AE AC
AC AB =. ∴
4
45
AE =. ∴16
5
AE =
. ----------------------5分 24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分
(II)折线图； ----------------------3分
(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分
25.解：（1）4.5 . --------------------2分 （2）
--------------------4分
(3) 4.2，点P 是AD 与CE 的交点. --------------------6分
26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，2
3
a =.--------------------2
分
(2)①对称轴为直线2x =；
②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，
依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩
＜，
≥
解得2
.3
a ≥
（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩
＞，≤
解得a ＜-2.
综上，2a -＜，或2
3a ≥. --------------------7分
27. （1）①75B ∠=︒，45ACB ∠=︒；--------------------2分
②作DE ⊥AC 交AC 于点E .
Rt △ADE 中，由30DAC ∠=︒，AD =2可得DE =1，AE =. Rt △CDE 中，由45ACD ∠=︒，DE=1，可得EC =1.
∴AC 1.
Rt △ACH 中，由30DAC ∠=︒，可得AH =
； --------------4分
（2）线段AH 与AB +AC 之间的数量关系：2AH =AB +AC
证明： 延长AB 和CH 交于点F ，取BF 中点G ，连接GH .
易证△ACH ≌△AFH .
∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =，
∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =.
∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. --------------7分 28. 解：（1）C ； --------------2分 （2）① 60°；
② △MNE 是等边三角形，点E 的坐标为)
；--------------5分
③ 直线2y x =+交 y 轴于点K （0，2），交x 轴于点()
T 0.
∴2OK =，OT =. ∴60OKT ∠=︒.
作OG ⊥KT 于点G ,连接MG . ∵()M 0，1， ∴OM =1.
∴M 为OK 中点 . ∴ MG =MK =OM =1.
∴∠MGO =∠MOG =30°，OG
∴3.2G ⎫⎪⎪⎝⎭
， ∵120MON ∠=︒, ∴ 90GON ∠=︒.
又OG =1ON =， ∴30OGN ∠=︒. ∴60MGN ∠=︒.
∴G 是线段MN 关于点O 的关联点.
经验证，点)
E
在直线2y =+上. 结合图象可知， 当点F 在线段GE 上时 ，符合题意. ∵G F E x x x ≤≤，
∴F x 分
.。