6.3.5 平面向量数量积的坐标表示学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.知识点 平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 则a ·b＝x 1x 2＋y 1y 2.(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？ 答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( × )2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.3.两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a 与b 的夹角为0°.( × )4.若向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则|a |＝|b |.( × ) 提示 |a |＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，显然|a |≠|b |.一、数量积的坐标运算例1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A.10 B.－10 C.3 D.－3 答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系 (1)|a |2＝a ·a .(2)(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. (3)(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， 所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)， 则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 二、平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，求a －2b 及其模的大小. 解 ∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方.(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C.5 D.25 答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5. 三、平面向量的夹角、垂直问题例3 (1)已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C解析 因为|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1， 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.又因为θ∈[0，π]，则θ＝π3.所以向量a 与b 夹角的大小为π3.(2)设向量m ＝(2x －1,3)，向量n ＝(1，－1)，若m ⊥n ，则实数x 的值为( ) A.－1 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 因为向量m ＝(2x －1,3)，向量n ＝(1，－1)，m ⊥n ， 所以m ·n ＝(2x －1)×1＋3×(－1)＝2x －1－3＝0，解得x ＝2. 反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3 已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3). 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.1.若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A.3 B.－3 C.53 D.－53答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.2.已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135 D.13 答案 A解析|a|＝32＋42＝5，|b|＝52＋122＝13. a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝63 65.3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A.1B. 2C.2D.4答案 C解析∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|＝12＋n2＝2.4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b等于()A.(－3,6)B.(3，－6)C.(6，－3)D.(－6,3)答案 A解析由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b|＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于()A. 5B.10C.2 5D.10答案 B解析由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a＋b|＝10.1.知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).(3)cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为非零向量a，b的夹角).2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.1.设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A.|a |＝|b | B.a·b ＝0 C.a ∥b D.(a －b )⊥b答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0， 所以(a －b )⊥b .2.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22(θ为a ，b 的夹角).又∵a ，b 的夹角的范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π4.3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－1，m )，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A.－2 B.2 C.12 D.－12答案 C解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(－1，m )，a ⊥b ， 所以a ·b ＝－1＋2m ＝0，解得m ＝12.4.a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a ·b 等于( ) A.23 B.57 C.63 D.83 答案 D解析 3|a |2－4a ·b ＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83. 5.已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则|a －b |等于( ) A.5 3 B.3 5 C.2 5 D.2 2 答案 B解析 因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2， a －b ＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)， 所以|a －b |＝3 5.6.已知a ＝(－1,1)，b ＝(1,2)，则a ·(a ＋2b )＝________. 答案 4解析 ∵a ＋2b ＝(1,5)，∴a ·(a ＋2b )＝4.7.设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________. 答案 －1解析 由题意得m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0， 所以m ＝－1.8.设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 答案 －2解析 由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ·b ＝0， 即m ＋2＝0，解得m ＝－2.9.已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R ). (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝2 5. ∴|a －b |＝2或2 5.10.已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. 又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎨⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).11.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 12.已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A.(2,6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2,6)答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)， BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)， ∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，① ∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6).13.设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________. 答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1). 14.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________.答案329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系.∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →， ∴E ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝⎝⎛⎭⎫223，2，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.15.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( ) A.(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3 C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1).作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3).又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1. 由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3).16.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4). (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值.(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3). 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 ∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴DC →＝AB →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， ∴AC →·BD →＝8＋8＝16. 又|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5， 设AC →与BD →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0，∴矩形ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。