[0, ]
f ( x)dx 。
解：由题设 f ( x) sin x ， a.e. 于 [0, ] ，而 sin x 在 [0, ] 上连续， 于是由积分的惟一性和 L 积分与 R 积分的关系得


[0, ]
f ( x)dx
[0, ]
sin xdx ( R) sin xdx ( cos x)
n n n n n n n
n
m*T m* (T E ) m* (T E c )
则称 E 为 R 中的 Lebesgue 可测集，或称 E 是 Lebesgue 可测的。
n
4、F.Riesz 定理（黎斯定理） 答：设 E 为 Lebesgue 可测集， f n ( x ) (n 1 ， 2 ， ) 和 f ( x ) 都是 E 上的几乎处处有 限的可测函数， 如 果 f n ( x ) f ( x)
华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期 期末考试试卷（A 卷） （解答）
课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 题型 分值 得分
一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错” 。 共 5 小题，每题 3 分，共
5×3=15 分） 1、可数个可数集的并集是可数集。 2、可测集 E 上的非负可测函数必 Lebesgue 可积。 3、 R 上全体 Lebesgue 可测集所组成的集类具有连续势。 4、非空开集的 Lebesgue 测度必大于零。
n
（2）由题设 lim Fn ( x) 2 f ( x ) ，再由 Fatou 引理得
2 f ( x)dx lim Fn ( x )dx lim [ f n ( x) f ( x) f n ( x) f ( x) ]dx
E E n n E
2 f ( x ) dx lim f n ( x ) f ( x ) ]dx ，
f ( x)dx
n E E
f n ( x) En ( x)dx
En

f n ( x)dx 可
lim f n ( x) dx lim f n ( x) dx f ( x) dx 。
n En n E E
6、设 E 是 Lebesgue 可测集， f n ( x ) (n 12) ， f ( x ) 都是 E 上的 Lebesgue 可积函数， 若
0
dy
y
f ( x, y )dx 。
5、设 E 是 R 中的可测集，若（1） E Ek ，其中 Ek 为可测集， E1 E2 ；
k 1
（2） f ( x ) ， f n ( x ) (n 12) 都是 E 上的可测函数，且 lim f n ( x ) f ( x) a.e. 于 E ；
n
n

E
f n ( x)dx f ( x )dx 。
E
2、 R 中开集的结构定理 答： R 中的任一非空开集总可表示成 R 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 （ 或 R 中的任一开集或为空集或可表示成 R 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的 并。 ） 3、 R 中的集合 E 是 Lebesgue 可测集的卡氏定义（即 C.Caratheodory 定义） 答：设 E R ，如果对任意 T R ，总有
E n E
即 lim
n

E
f n ( x) f ( x) ]dx 0 ，
从而 0 lim
n

E
f n ( x) f ( x) ]dx lim f n ( x) f ( x) ]dx 0
n E
故
lim f n ( x ) f ( x) dx 0 。
n E
n
存在 n0 ， 当 n n0 时， 总有 x En ， 从而 En ( x) 1 ， 于是 f n ( x ) f n ( x ) En ( x ) f n ( x) 。 ） 又 f n ( x ) f n ( x) En ( x) f n ( x ) F ( x ) ， F ( x) 在 E 上 Lebesgue 可积 所以 由 Lebesgue 控制收敛定理，并注意到 得
n
F F k
k 1

，由闭集的性质知 F 是闭集，且{ F }单调递增 取 Fk F i k k
i 1 k 1
k
) F F。 Fk ( F i k
k 1 i 1 k 1


k

2、证明： R 中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。 证明：记 E 为 R 中互不相交的开区间所构成的集族，对任意 I E ，由有理点的稠密 性， I 中必存在有理点，取其中的一个有理点记为 rI I ，并记 B {rI I E} Q n ，于是
n
(
i 1
i
i ) ，总有
n

i 1
f (i ) f ( i ) 。
则称 f ( x ) 是有界闭区间 [a, b] 上绝对连续函数。 三、计算题（共 1 题，共 1×10 = 10 分） 设 D0 为 [0, ] 中的零测集， f ( x)
sin x , x D0 ，求 x3 e , x D0
由题设易知 F ( x, y ) 也是 R 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的 Fubini 定 理
2

0
dx f ( x, y )dy
0
x

dx

F ( x, y )dy

R
F ( x, y )dxdy
2

n

dy


F ( x, y )dx
n
判断题 15
叙述题 15
计算题 10
解答题 60
总分 100
（
对 ）
（ 错 ） （ 错 ） （ 对 ）
n
5、 若 fn ( x) （ n 1， 2， ） 和 f ( x ) 都为可测集 E 上的可测函数， 且 lim f n ( x ) f ( x) ，
a.e. E ，则 f n ( x ) f ( x) ， x E 。
n

E
f n ( x ) f ( x ) dx 0 。
证明： （1）由可测函数的运算性质得 Fn ( x) f n ( x) f ( x) f n ( x ) f ( x) 是 E 上可测 函数， 又 所以
f n ( x ) f ( x) f n ( x ) f ( x) ，从而 Fn ( x) 0 ， Fn ( x) f n ( x) f ( x) f n ( x ) f ( x) 在 E 上非负可测。
证 明 ： 记来自 0dx f ( x, y )dy
0
x
0
dy
y
f ( x, y )dx 。
， 令
D {( x, y )
0 x 0 y } {( x, y ) } 0 yx y x
f ( x, y ), ( x, y ) D ， F ( x, y ) ( x, y ) D 0,
n
n
B 必为至多可数集。
作 E 到 B 的映射 如下：
:EB I ( I ) rI
由于 E 中任意两个不同的 I1 和 I 2 不相交，所以 rI1 rI 2 ，于是 是 E 到 B 的单射（实际上 还是一一映射） ，所以 E B Q n ，故 E 也是至多可数集。 3、设 f ( x ) 是 (, ) 上的实值函数，且 f ( x ) 在 (, ) 上的任一有限区间上都可测， 则 f ( x ) 在 (, ) 上也可测。

证明：因为 ( , ) [ n, n] ，而 f ( x ) 是 [ n, n] 上的可测函数，
n 1
所以 由可测函数的性质得 f ( x ) 在 (, ) 上也可测。 4、用 Fubini 定理证明：若 f ( x, y ) 为 R 2 = ( , + ) ( , + ) 上的非负可测函数，则
lim f n ( x ) f ( x) ( x E ) ，且 lim f n ( x ) dx f ( x ) dx ，
n
n E E
证明： （1） Fn ( x) f n ( x) f ( x) f n ( x ) f ( x) 在 E 上非负可测； （2）用 Fatou 引理证明： lim
n
（3）存在 E 上的 Lebesgue 可积函数 F ( x) ，使得 n ， f n ( x ) F ( x ) ( x E ) 。 证明： f ( x ) 在 E 上也 Lebesgue 可积，且 lim
n
En

f n ( x)dx f ( x )dx 。
E
证明：记 f n ( x) f n ( x ) En ( x) ，由题设知 lim f n ( x ) f ( x) a.e. 于 E （事实上 x E ，
0
0
2。
四、解答题（共 6 小题，每题 10 分，共 6×10 = 60 分） 1 、设 F 为 R 中的 F 集，证明：必存在 R 中的一列单调递增的闭集 {Fk } k 1 ，使得

n
n
F Fk 。
k 1
} ，使得 证明：因为 F 为 R 中的 F 集，所以一列闭集 {F k k 1
x E ， 则 存 在 { f n ( x ) } 的 一 个 子 列 { f nk ( x ) } ， 使 得