实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题
1． 设于，于，证明：于
证明：，

（否则，若，而，
矛盾），则

（）
从而
2． 设于，，且于，证明于
证明：由本节定理2（定理）从知的子列使
于
设，，于，从条件于，设
，,于上
令，则，且

故
，则
令，
故有，从而命题得证
3． 举例说明时定理不成立
解：取，作函数列
显然于上，但当时
，不
故时定理不成立，即于不能推出于
周民强《实变函数》P108
若是非奇异线性变换，，则
（）
表示矩阵的行列式的绝对值.
证明：记

显然是个的平移集（）的并集，是个（）的并集，且有，

现在假定（）式对于成立 （）
则
因为，所以得到
这说明（）式对于以及的平移集成立，从而可知（）式对可数个
互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体，

）
对一般开集，，为二进方体，互补相交
则
1-1 ，连续，连续 开，则开，从而可测
于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立
设为有界集，开，，则开，且不妨设有界，否则令 有界，令即可.
连续，则开，开，可测（），，
故
（开）
若为无界集，令，则，为有界集

，线性，则若，则（后面证）
，则由注释书P69定理3，存在集，，若有界，
则，故 （1-1）

则，故
若无界，则，

线性，若，则
证明：为的基，，
，,,令，则
则（即是连续的）
一边平行于坐标平面的开超矩体
于
，开，连续，则是中开集从而可测，从而是中可测集，由归纳法知
是可测集
若（）式成立，则矩体，
，为正方体，则对开集也有，特别对开区间
这一开集有
则可知，若，则
事实上，，开区间，，

令知
若（）成立，则将可测集映为可测集，还要看（）证明过程
是否用到将可测集映为可测集或推出这一性质！
下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换
的乘积
（i）坐标之间的交换
（ii）
(iii)
在（i）的情形显然（）成立
在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到
从而可知 （）式成立
在（iii）的情形，此时 （）
而且
（

则
反过来，，则
令则，
则， ）
记

，则

（，则，，则
，且，则
反过来，，则存在，，使
，，且
！
，存在，使，
，
，，
反过来，，
,则

则，又
则得证）
由此得到

故（）式成立
这里用到，可测，，可测，开，则可测，可测
故还是需要：若为非奇异线性变换，则集，是可测集，从而方块，
可测，可测有了，这就有（），从（）知将零测集变为零测集，从而
有将可测集变为可测集
可测为可测集（江则坚P109习题10）
现设连续，则开集，是开集，
记，可证是一个代数，且包含全部开集，从而包含全部集
证1）可测
2）若，则显然也可测，
3）若，则，可测，可测是代数
连续，则，包含全部开集，从而包含全部集
为非奇异线性，显然连续
方体半开半闭（显然为集），可测
为，
事实上，从（当）知
，使当时而当时，，故
（是的子列中的一个元，故，
则时
则）
收敛于，即在上收敛.
若条件改为：是一族一致有界的上的函数族，则结论成立
令则，
，
则是中的有界集，由聚点原理一列和，

同样令 （为上述取定的一列）
故，由聚点原理，存在的子列和（）使
，由此用归纳法可作出，（为的子列）使

令，则且有故由定理即知
，
方法②建立十进位小数的展式中缺7的所有无尽十进位小数之集
和上一切无尽九进位小数之集之间的一一对应.集中每个十进位小数
对应中这样的小数，该小数是前一个小数中凡是数字9都有数字7代
替后而得到的，这个对应是一一的（九进小数中不含9，而中不含7，
将97，而其他不动）
显然
周民强书P35思考题：
6．设是定义在上的实值函数族，是可数集，则存在（）使得在上
收敛.
我怀疑本题有错：若不假设是上一致有界的，会有反例：
令=，设这里，则显然任取无穷个于，故不会收敛！
时，
故还有：

鄂强91：介于0与1之间，而十进展开式中数字7的一切实数所
成立之集具有什么势？
证明：①从江则坚CH1§题知，且从证明中知与之1-1对应的是，
故中小数点全是0，1两位数字构成的数组成的集合，满足，而十进
展开式中缺数字7的一切实数之集满足
附加题：徐森林书
设为定义在上的实函数列，适用点集

表示点集
证明：江则坚书第一章第一节习题8：若于，则有

即
另一方面，易知
故

思考:若不可测, 也不可测,且,则不可测?
(显然不对, 可测
至少当有一个有界时,结论是对的?
若存在开集使,,不妨设有界, ,则若可测,则
)