实变函数论课后答案第三章1第三章第一节习题1.证明：若E 有界，则m E *<∞.证明：若n E R ⊂有界，则存在一个开区间(){}120,,;n M n E R I x x x M x M ⊂=-<<.（0M >充分大）使M E I ⊂.故()()()111inf ;2n nn n m n n i m E I E I I M M M ∞∞*===⎧⎫=⊂≤=--=<+∞⎨⎬⎩⎭∑∏.2.证明任何可数点集的外测度都是零.证：设{}12,,,n E a a a =是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故{}{}{}()12111,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞∞∞****===⎛⎫==≤== ⎪⎝⎭∑∑.3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要0m E μ*≤≤，就有1E E ⊂，使1m E μ*=.证明：因为E 有界，设[],E a b ⊂（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=∅<<，则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=∅=∅===. 考虑x x x +∆与，不妨设a x x x b ≤≤+∆≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +∆=+∆=+∆⎡⎡⎣⎣.可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E **+∆≤++∆⎡⎣()[]()(),f x m x x x f x x *≤++∆=+∆.对0x ∆<，类似得到()()f x f x x x ≤+∆+∆. 故总有()(),f x x f x x a x b +∆-≤∆<<.这说明()f x 在[],a b 上连续，由中介值定理知 (),a b ξ∃∈，使得()f c ξ=. 令[)1,E a E ξ=，则()11,m E f c E E ξ*==⊂. 若0μ=，则取11,0E E m E *=∅⊂=. 若1m E μ*=，取11,E E m E m E **==. 证毕.4.证明如果()f x 是[],a b 上的连续函数，则2R 中的点集()(){},;,x y a x b y f x ≤≤=的外测度为零.证明：n N ∀∈，将[],a b n 等分，即取分点012n x x x x b <<<<=，1,i i b ax x n---=1,2,i n =.因为()f x 在有界闭区间[],a b 连续，从而一致连续，故()0,0εδδε∀>∃=>，使当[]'"'",,,x x x x a b δ-<∈时()()()'"16f x f x b a ε-<-.所以存在()00N N ε=>，使n N ≥时()4b a nδ-<. 令()()()()()()()()22,;,1616ni i i i i b a b a I x y x x x f x y f x n n b a b a εε⎧⎫--⎪⎪=-<<+-<<+⎨⎬--⎪⎪⎩⎭.则()n i I 均为开区间，()()()482n i b a I n b a nεε-=⋅=-，且 ()(){}()1,,;,ni i i i i A x y x x x y f x I +∀=≤≤=⊂.事实上，()(), ,i x f x A ∀∈1,i i x x x +≤≤()12i i i b a b a x x x x n nδ+--∴-≤-=<< 从而()()()16i f x f x b a ε-<-.故()()22i i b a b a x x x n n---<<+ ()()()()()1616i i f x f x f x b a b a εε-<<+--即()(),n i x f x I ∈ 而()(){}0,;,n n i i Ax y a x b y f x I =≤≤=⊂()0122nnni i i n m A I nnεεε*==+∴≤==⋅≤∑∑由ε的任意性，则0m A *=.若[],a b 无界。

令[][][],,,,m m I m m J a b m m =-=-为无界闭区间，且[][][][]111,,,,m m m m m a b a b R a b I a b I J ∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 令()(){},;,mmA x b x Jy f x ∈=，()(){}1,;,mm Ax b a x b y f x A ∞=≤≤=⊂()()11000m m m A m A ∞∞**==≤≤==∑∑.5.对于n R 中的点集，0E α>及，令()(){}11,,;,,n n E x x x x E ααα=∈.证明： ()n m E m E αα**=.证明：由38P 第二章的习题11，若E 为开集， 0α>，则E α仍为开集，易知，若I n R ⊂为开区间，则I α仍为开区间，且n I I αα=. 事实上，设()(){}(){}111,,;,,,,;n n n i i i I x x x x I x x a x b αααα=∈=<<.()()()111nnnnni i i i iii i i I b a b a b a I ααααα===∴∂=-=-=-=∏∏∏.下面我们证明：(),0,n n E R m E m E ααα**∀⊂>≤ （1） 若（1）成立，则()n m E m E αα**=将得证.()1n E m E m m E αααα***⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭ ()()()n n m E m E m E ααα***∴≤≤.故结合（1），我们就有()()n m E m E αα**=. 下面证明（1）（1） 若()m E *=∞，则（1）显然成立.（2） 若(),0,m E ε*<∞∀>∃开区间()1,2,i I i =，使得()11,i i i i E I I m E ε∞∞*==∈<+∑.显然1i i E I α∞=⊂，从而有()()()()()1111n n n i i i i i i i i n n m E m I m I I I m E m E ααααααεααε∞∞∞∞****====*⎛⎫≤≤==≤+ ⎪⎝⎭=+∑∑∑ 令,ε→∞得()n m E m E αα**≤. （1）证毕..6.证明只要0m E *>，就一定有x E ∈，使得对任意0δ>，都有()(),0m E N x δ*>，此处(),N x δ是以x 为中心，以δ为半径的开球.证明：反证 设结论不对，则,0x x E δ∀∈∃>，使得()(),0m E N x δ*=， 则()(){},,,,x x x EE N x M N x x E δδ∈⊂=∈成为E 的一个开覆盖，由Lindelorf 定理38P 习题5，一定存在至多可数个()1,i E i x ∞=∈使得1i x i E I ∞=⊂.()11i ix x i i E I E IE ∞∞==⎛⎫∴∈=⎪⎝⎭故()1100iix x i i m E m I E m I E ∞∞***==⎛⎫<=≤= ⎪⎝⎭∑ 得矛盾，故结论成立.7.试就二维空间2R 证明外测度在旋转变换下也是不变的（提示：先证任何长方形的外测度都等于其面积）.证明：因为旋转变换是正交变换，它不改变长度和两线段的夹角，故它将长为a ，宽为b 的长方形仍变为长为a ，宽为b 的长方形。

如果能证明任何长方形（边不一定平行于坐标轴）的外测度都为该长方形的面积，则,0,nE R ε∀⊂∀>∃开区间i I ，使得1i i E I ∞=⊂，()1i i I m E ε∞*=<+∑.任意一个旋转变换:,n n Q R R Q →正交，11i i i i QE Q I QI ∞∞==⎛⎫⊂= ⎪⎝⎭这里{},;n A R QA Qx x A ∀⊂=∈，()111i i i i i i m QE m QI m I I m E ε∞∞∞****===≤==≤+∑∑∑.m QE m E **∴≤.另一方面，Q 正交，1Q -也正交，()()()1m E m Q QE m QE m E m QE m E**-****≤≤≤∴=得证.故关键是证明：任何长方形的外测度都等于其面积.下证2R 上的长方形的外测度等于其面积.证明：53P 已知，任何区间I （边平行于坐标平面的外测度等于I ，在2R 中，边平行于坐标轴的长方形（区间）的外测度等于其面积）现设I 为2R 上任一长方形，设其长为0a >，宽为0b >，面积()S I ab =，0ε∀>充分小，可作边平行于I 的边的两开长方形J I I εε⊂⊂，J ε的长为2a ε-，宽为2b ε-，I ε的长为2a ε+，宽为2b ε+，且()(),,,c c I I J J εερερε==，取m3ε<，则2R 可用边长为1m ，边平行于坐标轴的半开半闭的，形如：()2121,,,1,2m i i s i l l J x x R x i m m +⎧⎫=∈<<=⎨⎬⎩⎭的区间表示成互不相交的并，且{}{},,m m s s m mmss m JJ J i IIJ j ε≠∅=<∞≠∅=<∞且若m s J J ε≠∅，则m s I I ⊂，否则存在,m m c s s P J J q I I ε∈∈，故()(),,3c m s I I p q diam I εεερρ=≤≤=<得矛盾. 存在m i 个边长为1m，边平行于坐标轴的区间ms J ，()()1,mi m m s J J I J εεε=⊂⊂互不相交，同理存在m j 个边长为1m，边平行于坐标轴的区间~,1,2,,ms m J s j =，使~ms J 互不相交. ()~1m i m s I J I εε=⊂⊂.分别记()()(),,S J S I S I εε表示,,J I I εε的面积，()S A 表示可求面积的平面图形A 的面积，则()()()()()()()()()()()()1111~~~1111~~112222m m mm m m m mmm i i ii m m mm s s s s s s s s j j i j m m m m s j s s s j j m m s s a b S J S J J m J m J m I m J m J J S J S J S I a b εεεεεεεεεε*====****======⎛⎫--==== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==≤=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ ()()()()()2222a b m I a b εεεε*∴--≤++()()()()()2222a b m I a b εεεε*∴--≤≤++令0ε→，得()()()ab m I ab m I ab S I **≤≤∴==故旋转变化下，长方形的外测度不变等于其面积. 设(){},;,I x y a b c d =<<则()()m I b a d c I *∴=--=的面积.故任一长方形I ，设其长为a ，宽为b ，则存在一个平移t 和旋转R 使得()I R I t =+，这里(){},;0,0I x y x a y b =<<<<()()()()I R I t m I m R I t Rm I t m I ab****=+∴=+=+==故其测度等于其面积S I ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭.E 可测⇔∀正交变换:,n n R R R RE →可测.证明：“⇐”取:,n n R I R R Ix x =→=，则RE E =可测.“⇒”设E 可测，则对正交变换:,n n n R R R T R →∀⊂，E 可测.()()()()()()()()()()()()1111111111det c c cc m R T m R T E m R T E m R T R RE m R T R RE m RTRE m RTRER m TE m T E *-*-*-*--*--*-*--**=+=+=+=+所以RE 可测.。