高等数学(一) 模拟试卷三1. 设)(x f 在2=x 处可导，且2)2(='f ，则hf h f h 2)2()2(lim 0-+→等于（ ）A ．21B . 1 C. 2 D. 42. 设则x x f +='1)(，则)(x f 等于( ) A. 1 B. C x x ++2C. C x x ++22D. C x x ++22 3. 函数 x y sin = 在区间[]π,0上满足罗尔定理的ξ等于（ ）A. 0B. 4πC. 2πD. π 4.将1)()(lim-=--→ax a f x f ax ，则函数)(x f 在a x =处 （ ）A.异数存在，且有1)(-='a fB. 异数一定不存在C. )(a f 为极大值D. )(a f 为极小值5. ⎰b axdx dx d arcsin 等于 （ ）A. a ar b cos arcsin -B.211x-C. x arcsinD. 0 6.下列关系正确的是 （ ）A. ⎰-=11301dx xB.⎰+∞∞-=03dx xC.⎰-=1150sin dx x D. ⎰-=1140sin dx x一、选择题：1-10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.7.设 x y sin = ，则 0='x y 等于 （ ）A.1B. 0C.-1D. -2 8. 设 xy z 2= 则 xz∂∂ 等于 A. 122-x xyB. xy 22 C. y yxln 2 D. y y x ln 229．交换二次积分次序 ⎰⎰212),(ydx y x f dy 等于 （ ）A. ⎰⎰212),(xdy y x f dx B.⎰⎰211),(xdy y x f dxC.⎰⎰212),(xdy y x f dx D.⎰⎰212),(ydy y x f dx10．下列命题正确的是 （ ） A ．∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu必定发散B. 若∑∞=1n nu收剑，则∑∞=1n nu必定收剑C.若∑∞=1n nu收剑，则)1(1∑∞=+n nu必定收剑 D. 若∑∞=1n nu收剑，则∑∞=1n nu必定收剑11．若当0→x 时，22x 与3sin 2ax 为等价无穷a= .12．函数ｙ=3211-x 的间断点为 .13．设函数x x y sin 2+=，则dy = .二、填空题：11-20小题，每小题4分，共40分.分.把答案填在题中横线上.14. 设函数)(x y y =由方程1222=++y x y y x 确定，='y . 15.不定积分dx x ⎰-131= .16. ⎰tdt dx d xsin 2= .17.设23y x z = ，则21==y x dz= .18. 设区域D:0),0(222≥>≤+y a a y x ，则⎰⎰Ddxdy 化为极坐标下的表达式为 . 19.过点)1,0,2(0-M 且平行于113z y x =-=的直线方程为 . 20.幂级数∑∞=12n n nx 的收剑区间为 .21.（本题满分8分）设⎪⎩⎪⎨⎧+=2tan )(x x bx x f ,0,0≥<x x 且)(x f 在点0=x 出连续，求b.三、解答题：21-28小题，共70分.解答应写出推理、演算步骤.22.(本题满分8分)设函数x x y sin =，求y '.23．（本题满分8分）设⎪⎩⎪⎨⎧+=,21,1)(2x x x f .1,1>≤x x 求⎰20.)(dx x f24． （本题满分8分）求由方程⎰=+xdt t y 0220cos 确定的)(x y y =导函数y '.25.（本题满分8分）设xyy e z x +=，求y z x z ∂∂∂∂,.26.（本题满分10分）计算⎰⎰+Ddxdy y x ,22其中D 是由x y y x ==+,122及x 轴所围成的第一象域的封闭图形.27.(本题满分10分)求垂直域直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程.28.（本题满分10分） 求x y y 22='-''的通解.高等数学（一）应试模拟第6套参考答案与解题指导一、选择题：每小题4分，共40分 1．B【解析】 本题考查的知识点为导线在一点处的定义.,1221)2(212)2()2(lim=⋅='=-+→f h f h f h可知应选B 。

2.C【解析】 本题考查的知识点为不定积分的性质.C x x dx x dx x f x f ++=+='=⎰⎰2)1()()(2,可知应选C3.C【解析】本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论. 由于x y sin =在[]π,0上连),0(π内可导，且π====x x yy00，可知x y sin =在[]π,0上满足罗尔定理，因此必定存在),0(πξ∈使0cos cos ==='==ξξξx x xy ，从而应有2πξ=.故知应选C 。

4.A【解析】本题考查的知识点为导数的定义. 由于1)()(lim-=--→ax a f x f ax ，可知1)(-='a f ，因此选A.由于,01)(≠-='a f 因此)(a f 不可能是)(x f 的极值，可知C.D 都不正确. 5.D【解析】本题考查的知识点为定积分的性质. 由于当)(x f 可积时，定积分dx x f ba⎰)(的值为一个确定常数，因此总有0)(=⎰ba dx x f dxd ， 故应选D6.C【解析】本题考查的知识点为定积分的对称性.由于5sin x 在[]1,1-上为连续的奇函数，因此⎰-=115sin o dx x ，可知应选C.4sin x 为偶函数，且当10<<x 时，.0sin 4>x 因此⎰⎰-=>=11144.0sin 2sin o dx x dx x 可知D 不正确.应该指出，31x在x=0处没有定义，且∞=→301lim x x ，因此⎰-1131dx x 不满足定积分的对称性质.相仿⎰+∞∞-dx x 3为无穷区间上的广义积分，也不满足定积分的对称性质.7．A【解析】本题考查的知识点为导数公式.由于 ,1cos ,cos )(sin 0=='='==x x xy x x可知应选A.8．D【解析】本题考查的知识点为偏导数的运算,2x y z =若求xz∂∂，则需将z 认定为指数函数，从而有,ln 2)2(ln 22y y x y y xzx x ='⋅⋅=∂∂ 可知应选D. 9.B【解析】本题考查的知识点为交换二次积分次序.由所给二次积分可知积分区域D 可以表示为,2,21≤≤≤≤x y y 交换积分次序后，D 可以表示为 ,1,21x y x ≤≤≤≤故应选B.10．D【解析】本题考查的知识点为收剑级数的性质和绝对收剑的概念. 由收剑级数的性质“绝对收剑的级数必定收剑：可知应选D.由于调和级数∑∞=11n n 发散，而莱布尼茨级数∑∞=--111.)1(n n n 收剑，可知A,B 都不正确.由于当∑∞=1n nu收剑时,0lim =∞→n n u 因此,01)1(lim ≠=+∞→n n u 由级数发散的充分条件知∑∞=+1)1(n nu发散，可知C 不正确.二、填空题：每空4分，共40分.11．6【解析】本题考查的知识点为无穷小阶的比较.由于当0→x 时，22x 与3sin 2ax 为等价无穷小，因此,632lim 3sin2lim 1220220aax x ax x x x ===→→ 可知a=6.12．.1±【解析】本题考查的知识点为判定函数的间断点. 仅当0123=-x 即1±=x 时，函数3112-=x y 没有定义，因此，1±=x 为函数的间断点.13．.)cos 2(dx c x +【解析】本题考查的知识点为微分运算.解法一：利用.dx y dy '= 由于,cos 2)sin (2x x x x y +='+='可知.)cos 2(dx x x dy +=解法二：利用微分运算法则,)cos 2(sin )sin (22dx x x x d dx x x d dy +=+=+=14．22222+++-xy x y xy【解析】本题考查的知识点为隐函数的求异.将1222=++y x y y x 两端关于x 求异，两端关于x 求异，02)2()2(22='++'+'+y y x y y y x xy ，,0)2()22(22=++'++y xy y xy x因此22222+++-='xy x y xy y .15．C x +-)13ln(31【解析】本题考查的知识点为不定积分的换元积分法 ..)13ln(31)13(13131131C x x d x dx x +-=--=-⎰⎰ 16．.sin 22x x【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导..sin 2)()sin(sin 20222⎰='⋅=x x x x x tdt dxd 17．.412dy dx +【解析】 本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分.由于23y x z =，可知223y x xz=∂∂，y x y z 32=∂∂，均为连续函数，因此 ,dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=.412212121dy dx dy yz dx yz dzy x y x y x +=∂∂+∂∂=======18．⎰⎰πθ0.ardr d【解析】本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题. 由于0,222>≤+y a y x 可以表示为,0,0a r ≤≤≤≤πθ因此⎰⎰⎰⎰=πθ0aDrdr d dxdy .19．11132+=-=-z y x . 【解析】本题考查的知识点为求直线的方程.由于所求直线平行与已知直线l ,可知两条直线的方向向量相同，由直线的标准式方程可知所求直线方程为11132+=-=-z y x 20．（-2，2）【解析】本题考查的知识点为幂级数的收剑区间. 由于所给级数为不缺项情形，,212121lim lim11ρ===+∞→+∞→n n n nn n a a 可知收剑半径,21==ρR 收剑区间为（-2，2）.三、解答题：共70分 21．解：由于,lim tan lim )(lim 00b xbxx bx x f x x x ===---→→→ ,2)2(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x又由于)(x f 在点0=x 处连续，因此.2)0()(lim 0==→f x f x 可知 .2=b 22．解：由于,sin x x y =可得)(sin sin '⋅+'='x x x x yx x x cos sin += 23.解:⎰⎰⎰+=10212)()()(dx x f dx x f dx x f=⎰⎰=++=++21213102210.3861)21(21)1(x x x dx x dx x 24.解: 将方程两端关于x 求异，得yx y x y y 2cos ,0cos 222-='=+' .25． 解： ,xy y e z x+=则 yx y y e x z x x )()('+'=∂∂,2xyy e x -= yx x y y e y z )()('+'=∂∂ .1xe x +=26． 解：在极坐标系中，D 可以表示为.10,40≤≤≤≤r πθθθππd r rdr r d dxy y x D⎰⎰⎰⎰⎰=⋅=+14013402231 .123140πθπ==⎰d27． 解：由于直线0162=+-y x 的斜率31=k ，与其垂直的直线的斜率.311-=-=kk 对于.63,53223x x y x x y +='-+= 由题意应有,3632-=+x x 因此,0122=++x x,1-=x 此时.35)1(3)1(23-=--+-=y 即切点为（-1，-3）.切线方程为),1(33+-=+x y 或写为063=++y x28．解：x y y ='-''2 为二阶常系数线性微分方程. 特征方程为.022=-r r 特征根为.2,021==r r相应齐次方程的通解为.221xe C C Y +=01=r 为特征根，可设)(B Ax x y +=*为原方程特解，代入原方程可得).1(21,21+-=-==*x x y B A故)1(21221+-+=x x eC C y x为所求通解.。