2020年中考数学模拟试卷（四）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．5B．±5C．﹣5D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．（﹣x）2•x3＝x5C．（﹣x）4÷x＝﹣x3D．x+x2＝x33．（3分）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤34．（3分）下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形5．（3分）下列事件是确定事件的是（）A．阴天一定会下雨B．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播D．在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书6．（3分）某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%，3月份生产原料的吨数是（）A．a（1+x）2B．a（1+x%）2C．a+a•x%D．a+a•（x%）2 7．（3分）如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）A．B．C．D．8．（3分）已知圆锥的侧面积是20πcm2，母线长为5cm，则圆锥的底面半径为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm9．（3分）已知点A（﹣4，0），B（2，0）．若点C在一次函数的图象上，且△ABC 是直角三角形，则点C的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．90B．60C．169D．144二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共计16分）11．（2分）分解因式：a2﹣9＝．12．（2分）据统计今年全国高校毕业生将达约7270000人，将数据7270000用科学记数法表示．13．（2分）命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．14．（2分）数据5，6，7，4，3的方差是．15．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，DE＝2，则BC＝．16．（2分）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为cm2．（结果可保留根号）17．（2分）如图，正方形ABCD的边长等于3，点E是AB延长线上一点，且AE＝5，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF＝．18．（2分）如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN 的最小值等于．三、解答题：（本大题共10题，共84分）19．（8分）计算：（1）；（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．20．（8分）（1）解方程：x2﹣3x﹣2＝0；（2）解不等式组：．21．（8分）如图，线段AC是矩形ABCD的对角线，（1）请你作出线段AC的垂直平分线，交AC于点O，交AB于点E，交DC于点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：AE＝AF．22．（8分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”，为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）C组的人数是，并补全直方图；（2）本次调查数据的中位数落在组内；（3）若该辖区约有24000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？23．（8分）一个不透明的布袋里装有3个完全相同的小球，每个球上面分别标有数字﹣1、0、1，小明先从布袋中随机抽取一个小球，然后放回搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，求第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．24．（8分）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长AB＝10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）25．（8分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B．（1）设点B的横坐标为b，试用只含有字母b的代数式表示k；（2）若OA＝3BC，求k的值．26．（10分）某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的15%，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的40%．问：（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B 沿B→C→O的线路运动，运动速度为每秒1个单位，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）经过A、B、C三点的抛物线的解析式的对称轴为．（2）设经过A、B、C三点的抛物线的对称轴与直线OB的交点为M，线段PQ是否能经过点M？若能请求出t的值（或t的取值范围），若不能，请说明理由．（3）当Q在BC上运动时，以线段PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能请求出t 的值，若不能，请说明理由．2020年中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）﹣5的相反数是（）A．5B．±5C．﹣5D．解：根据相反数的含义，可得﹣5的相反数是：﹣（﹣5）＝5．故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．（﹣x）2•x3＝x5C．（﹣x）4÷x＝﹣x3D．x+x2＝x3解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；B、（﹣x）2•x3＝x2•x3＝x5，故本选项正确；C、（﹣x）4÷x＝x4÷x＝x3，故本选项错误；D、x+x2不能合并，故本选项错误．故选：B．3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选：B．4．（3分）下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．∴不能铺满地面的是正五边形．故选：C．5．（3分）下列事件是确定事件的是（）A．阴天一定会下雨B．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播D．在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书解：A、阴天一定会下雨是随机事件，选项错误；B、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件，选项错误；C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播是随机事件，选项错误；D、在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书，是确定事件，选项正确．故选：D．6．（3分）某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%，3月份生产原料的吨数是（）A．a（1+x）2B．a（1+x%）2C．a+a•x%D．a+a•（x%）2解：∵1月份产量为a吨，以后每个月比上一个月增产x%，∴2月份的产量是a（1+x%），则3月份产量是a（1+x%）2．故选：B．7．（3分）如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）A．B．C．D．解：利用三角函数的定义可知tan∠A＝．故选：A．8．（3分）已知圆锥的侧面积是20πcm2，母线长为5cm，则圆锥的底面半径为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l＝＝＝8π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r＝＝＝4（cm）．故选：C．9．（3分）已知点A（﹣4，0），B（2，0）．若点C在一次函数的图象上，且△ABC 是直角三角形，则点C的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：由题意知，直线y＝x+2与x轴的交点为（﹣4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：过点B作BC垂直于直线于点C，作C′B⊥AB垂足为B，故共有2个点能与点A，点B组成直角三角形．故选：B．10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．90B．60C．169D．144解：过D作BM的垂线交BM于N，∵图中S2＝S Rt△DOI，S△BOC＝S△MND，∴S2+S4＝S Rt△ABC．可证明Rt△AGE≌Rt△ABC，Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4＝S1+S3+（S2+S4），＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积＝Rt△ABC的面积×3＝12×5÷2×3＝90．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共计16分）11．（2分）分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．12．（2分）据统计今年全国高校毕业生将达约7270000人，将数据7270000用科学记数法表示7.27×106．解：将7270000用科学记数法表示为：7.27×106．故答案为：7.27×106．13．（2分）命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．14．（2分）数据5，6，7，4，3的方差是2．解：∵＝（5+6+7+4+3）÷5＝5，∴数据的方差S2＝×[（5﹣5﹣）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（3﹣5）2]＝2．故答案为：2．15．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，DE＝2，则BC＝6．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝解得：BC＝6．故答案为：6．16．（2分）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为（75+360）cm2．（结果可保留根号）解：根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，∵其高为12cm，根据正六边形的性质易知：底面边长为5cm，∴其侧面积为6×5×12＝360cm2密封纸盒的底面积为：×5××6＝cm2∴其全面积为：（75+360）cm2．故答案为：（75+360）．17．（2分）如图，正方形ABCD的边长等于3，点E是AB延长线上一点，且AE＝5，以AE为直径的半圆交BC于点F，则BF＝．解：作出AE的中点O，连接OF．则OF＝OA＝AE＝，OB＝AB﹣OA＝3﹣＝．在直角△OBF中，BF＝＝＝．故答案是：．18．（2分）如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN 的最小值等于﹣4．解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣3﹣1＝﹣4，∴PM+PN的最小值为﹣4．故答案为﹣4．三、解答题：（本大题共10题，共84分）19．（8分）计算：（1）；（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2．解：（1）＝2﹣3+3＝2；（2）（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2＝a2﹣4﹣（a2+1﹣2a）＝2a﹣5．20．（8分）（1）解方程：x2﹣3x﹣2＝0；（2）解不等式组：．解：（1）△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，x＝，∴x1＝，x2＝；（2）解不等式①得x＞；解不等式②得x≤4，所以原不等式组的解集是＜x≤4．21．（8分）如图，线段AC是矩形ABCD的对角线，（1）请你作出线段AC的垂直平分线，交AC于点O，交AB于点E，交DC于点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：AE＝AF．（1）解：如图：分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，然后连接即可；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，在△OCF和△OAE中，，∴△COF≌△AOE（ASA），∴AE＝CF，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴AE＝AF．22．（8分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”，为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h请根据上述信息解答下列问题：（1）C组的人数是120人，并补全直方图；（2）本次调查数据的中位数落在组C内；（3）若该辖区约有24000名初中学生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的人约有多少？解：（1）C组的人数是：300﹣20﹣100﹣60＝120（人）．；（2）中位数落在C组．故答案是：C；（3）估计其中达国家规定体育活动时间的人约有：24000×＝14400（人）．答：估计其中达国家规定体育活动时间的人约有14400（人）．23．（8分）一个不透明的布袋里装有3个完全相同的小球，每个球上面分别标有数字﹣1、0、1，小明先从布袋中随机抽取一个小球，然后放回搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，求第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．解：树状图如下：所有可能出现的结果共有9种，其中满足条件的结果有5种∴P（所得的两数的绝对值相等）＝．或列表格如下：第一次第二次﹣101﹣1（﹣1，﹣1）（﹣1，0）（﹣1，1）0（0，﹣1）（0，0）（0，1）1（1，﹣1）（1，0）（1，1）所有可能出现的结果共有9种，其中满足条件的结果有5种，∴P（所得的两数的绝对值相等）＝，．24．（8分）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长AB＝10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．，∴BE＝8，AE＝6．∵DG＝1.5，BG＝1，∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5，AH＝AE+EH＝6+1＝7．在Rt△CDH中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5，tan30°＝，∴CH＝9.5．又∵CH＝CA+7，即9.5＝CA+7，∴CA≈9.435≈9.4（米）．答：CA的长约是9.4米．25．（8分）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B．（1）设点B的横坐标为b，试用只含有字母b的代数式表示k；（2）若OA＝3BC，求k的值．解：（1）∵将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y＝x+4，∵点B在直线y＝x+4上，∴B（b，b+4），∵点B在双曲线（k＞0，x＞0）上，∴B（b，），∴b+4＝，∴k＝b2+4b；（2）分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF＝OD，∵点B在直线y＝x+4上，∴B（x，x+4），∵点A、B在双曲线上，∴3x•x＝x•（x+4），解得x＝1，∴k＝3×1××1＝．26．（10分）某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的15%，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的40%．问：（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？解：（1）设公司第一次改装了y辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x．依题意得方程组：，化简得：（100﹣y）＝（100﹣2y），解得：，20+20＝40（辆）．答：公司共改装了40辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%．（2）设一次性改装后，m天可以收回成本，则：100×80×40%×m＝4000×100，解得：m＝125．答：125天后就可以从节省的燃料费中收回成本．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B 沿B→C→O的线路运动，运动速度为每秒1个单位，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）经过A、B、C三点的抛物线的解析式的对称轴为x＝2．（2）设经过A、B、C三点的抛物线的对称轴与直线OB的交点为M，线段PQ是否能经过点M？若能请求出t的值（或t的取值范围），若不能，请说明理由．（3）当Q在BC上运动时，以线段PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能请求出t 的值，若不能，请说明理由．解：（1）∵抛物线过点B（3，），C（1，），∴对称轴为直线x＝＝2；（2）∵如图1，△BGM∽△OHM，G（2，），H（2，0），∴BG＝1，OH＝2，∴＝＝，设PQ交OB于点N，又∵△BQN∽△OPN，QB＝t，OP＝2t，∴＝＝，∴＝，即点N与点M重合．此时0＜t＜2；（3）如图2，过圆心N作NE∥x轴，∵⊙N切AB于D，AB与x轴夹角为30°，∴△END为30°角的直角三角形，∴NE＝2ND，∵PQ＝2ND，∴NE＝PQ，设P（2t，0），Q（3﹣t，），∴PQ2＝[3（1﹣t）]2+（）2，∵NE为梯形ABQP的中位线，∴NE＝（BQ+AP）＝（6﹣t），∵NE＝PQ，∴NE2＝PQ2∴[（6﹣t）]2＝[3（1﹣t）]2+（）2，解得：t＝．。