一、填空题（每小题2分,共20分）1.数列 ,41,0,31,0,21,0,1,0的一般项=n x . 答：nn)1(1-+.2. 极限=-+→)cos 1(cos -1lim0x x xx .答：21. 3. 极限=-→xx x 10)1(lim .答：1e. 4. 设函数1()cos f x x=，则[(1)]f '=. 答：0.5.函数()ln ||f x x =的导数()f x '=.答:1x. 注：答为1||x 不给分6. 已知x y sin =，则(20)y =.答:sin x . 7. 已知21()1df x dx x=+, 则()f x =. 答: arctan x C +. 注：答为arctan x 扣1分8.当∞→n 时，如果nk1sin与n1为等价无穷小，则k =. 答:2.9. 若函数31,1(),1.x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩，在),(+∞-∞上连续，则a =.答:2-.10. 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得)(ξf '=.答:()()f b f a b a--.二、单项选择题（每小题3分,共18分）1. 若极限0lim =∞→n n x ，而数列}{n y 有界，则数列}{n n y x （ Ａ ）.(A) 收敛于0； (B) 收敛于1； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定. 2. 0=x 是函数1()12xf x =-的（ C ）间断点. (A) 可去； (B) 跳跃； (C) 无穷； (D) 振荡. 3．设函数()(1)(2)(2011)f x x x x x =+++，则=')0(f （ C ）.(A) !n ； (B) 2010!； (C) 2011!； (D) 2012!. 4．若函数)(x f 、()g x 都可导，设[()]y f g x =，则d d yx=（ B ）. (A){[()]}()f g x g x ''⋅； (B)[()]()f g x g x ''⋅； (C)[()]()f g x g x '⋅； (D)[()]f g x '.5．设函数 ，则在=0处（ C ）(A)极限不存在； (B)极限存在但不连续； (C)连续； (D)可导.6．下列函数中，在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ A ）.(A)21x -； (B) xe ； (C) x ln ； (D)211x -.三、求下列极限（每小题6分,共24分）1.xx x 11lim-+→.解：001limx x x →→= (2分) 012x →==. (6分)2. 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭解：211212lim lim 111x x x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦(4分)2e = (6分)3.xxx ln cot ln lim 0+→ 解：原式=x x x xx x x x cos sin lim 1)sin 1(cot 1lim 020++→→-=-⋅(3分)1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=++→→xx x x x ．(6分)4. 1lim n n n →∞⎛⎫++ 解：设22212111nn nn x n ++++++=，(1分)则，≤n x n y nnn==+++1111222； (2分)≥n x n z nnn n nn nn nn =+=+=++++++/1111112222，(3分)因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，(4分)由夹逼定理112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n . (6分)四. 求导数或微分（每小题6分,共18分）1．已知)1sin(ln x y -=,求y d 解：cos(1)(1)sin(1)x dy dx x -=--(4分)cot(1)x dx =--. (6分)２．求由参数方程222,dy ,arctan ),1ln(dx yd dx t y t x 求⎩⎨⎧=+=.解：t tt t dx 211211dy 22=++=将上式对x 求导，右端先对t 求导，再乘上dx dt，32224112211)21(t t t t t x t t +-=+⋅-='⋅'得322241tt dx y d +-=3. 设函数)(x y y =由方程yx y e 1+=确定, 求)(x y y =在0x =处的切线方程. 解：当0, 1.x y ==(1分)方程yx y e 1+=两边对x 求导，有xyx x y yy d d e e d d +=，(3分) 得d e d 1eyy y x x =-(4分) 所以,x dy e dx==. (5分)因此,所求的切线方程为1y e x =+. (6分)五.（8分）已知函数2arcsin(),0,()2b,0ax x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩在0x =点可导, 求常数ba 、的值.解：要使)(x f 在0x =处可导，必须)(x f 在0x =处连续，(1分)而0(0)lim arcsin()0x f ax ++→==；(0)f b =.(2分) 由(0)(0)f f +=，有0b =. (3分)又000()(0)arcsin()(0)lim lim lim 0x x x f x f a x a xf a x x x++++→→→-'====-，(4分) 200()(0)2(0)lim lim 20x x f x f x xf x x---→→-+'===-.(5分)由)(x f 在0x =处可导，有(0)(0)f f -+''=(6分), 得2a =.(7分) 故当0,2a b ==时，函数)(x f 在0x =处可导. (8分)六．证明题（12分）若函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =,(1)1f =.证明: (1) 存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-; (2) 存在两个不同的点,(0,1)a b ∈,使得()()1f a f b ''=. 证明：(1) 令()()1g x f x x =+-, (1分) 则()g x 在[0,1]上连续, (2分)又(0)10g =-<，(1)10g =>(3分)，由零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使得()()10g f ξξξ=+-=(5分), 即()1f ξξ=-.(6分)(2) 分别在[0,]ξ和[,1]ξ上应用拉格朗日中值定理 (7分), 存在(0,)a ξ∈,(,1)b ξ∈使得()(0)1()f f f a ξξξξ--'==, (9分)(1)()1(1)()111f f f b ξξξξξξ---'===---, (11分)因此()()1f a f b ''=. (12分)附加题（10分,不计入总成绩，只作为参考） 如果)(x f 和()g x 满足下列三个条件：（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,内可导；（3）对任意(),x a b ∈，均有()0g x '≠．则存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ'-='-．证明：令()[()()][()()]F x f a f x g x g b =--.(2分)因为()F x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0F a F b ==,(3分)由罗尔定理, 存在一点(),a b ξ∈,使得()0F ξ'=. (5分)由于()[()()]()[()()]()F x f a f x g x g x g b f x '''=-⋅--⋅, (6分) 所以()[()()]()[()()]()0F f a f g g g b f ξξξξξ'''=-⋅--⋅=,(8分)整理,得 ()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ'-='-.(10分)。