f (v x , v y , y z ) = f ( v x ) f (v y ) f (v z )
若已知速度分量的分布函数,即可求得速度分布函数, 反之,也可以由 f (v x , v y , y z ) 求出速度分量分布函数
dN vx = ∫ dv y ∫ dv z Nf (v x , v y , v z )dv x
2.速度分布函数 (1).速度分量的分布函数 气体分子速度x分量的分布函数: 分布函数: 分布函数
f (v x ) =
f (v y ) =
dN vx Ndv x
dN v y Ndv y
分子 热运动 各向 同性 ， 所以 函数 形式 相同 ！
气体分子速度y分量的分布函数: 分布函数: 分布函数
气体分子速度z分量的分布函数: 气体分子速度z分量的分布函数:
?
(1)粒子忽左、忽右，犹如一醉汉走路,正好可以用一维“无规行走” 粒子忽左、忽右，犹如一醉汉走路 正好可以用一维 无规行走” 正好可以用一维“ 粒子忽左 模型来讨论! 模型来讨论 (2)布朗粒子向左挪动和向右挪动的概率 与q是相等的 即p=q=1/2, 布朗粒子向左挪动和向右挪动的概率p与 是相等的 是相等的,即 布朗粒子向左挪动和向右挪动的概率 (3)设布朗粒子从 设布朗粒子从x=0处出发 共走了 步,其中向右 沿X轴正向 走了 处出发,共走了 其中向右(沿 轴正向 走了n 轴正向)走了 设布朗粒子从 处出发 共走了N步 其中向右 步的概率由二项式分布公式给出: 步的概率由二项式分布公式给出
N
N
2
2
n =0
n =0
N! p n q N −n n!( N − n)!
x 2 = Nl 2 [( N − 1)( p − q ) 2 + 1]
当p=q=1/2时
x 2 = Nl 2
又由于步数N正比于观测所用的总时间t,所以 又由于步数N正比于观测所用的总时间t,所以x 2 ∝ t ,这表明 t, 布朗粒子的运动显然不是匀速漂移, 布朗粒子的运动显然不是匀速漂移,x2与t成正比是随机过程 的典型结果. 的典型结果.
n dN ↓ = (vdt ⋅ dA) 6
vdt
dA
dN ↓ 1 Γ= = nv dAdt 6
⑵利用气体分子速度分布律求
①特定范围内的分子在
在直角坐标系下) Γ (在直角坐标系下)
dt 内与dA 相碰的次数:
dA
x
第i组分子 vi (vix , viy , viz )
ni = nf (vix , viy , viz )dvix dviy dviz
1.速度空间
速度空间也可以采用球极坐标 一速度矢量的矢径之长,就是其速率 v ,而极角θ和方 位角ϕ 可以表示出速度的方向.运动方向在 θ ~ θ + dθ ϕ ~ ϕ + dϕ 范围内的分子速度矢量必定落在立体角 dΩθ ,ϕ = sin θdθdϕ 之内. 两种坐标系之间的变换关系：
v x = v sin θ cos ϕ v y = v sin θ sin ϕ v z = v cosθ
3.1.1 布朗运动
悬浮在液体或气体中的固体微粒(如花粉、 悬浮在液体或气体中的固体微粒(如花粉、 藤黄粒、尘埃等) 藤黄粒、尘埃等)要受到周围气体或液体分 子的冲撞，由于来自各方向上的冲击作用 子的冲撞， 的不平衡，悬浮微粒要做无规(随机)运动， 的不平衡，悬浮微粒要做无规(随机)运动， 微粒越小，温度越高，运动就越激烈。 微粒越小，温度越高，运动就越激烈。
f =
λ
r
s
−
µ
r
t
Ep =
∞ ,当r ≤ d时; 0, 当r > d时.
2、苏则朗 苏则朗(Sutherland)分子力模型 苏则朗 分子力模型
4、理想气体模型 理想气体模型
∞ , 当r ≤ d时; Ep = µ' - t -1 , 当r > d时. r
Ep =
∞ ,当r = 0时; 0, 当r > 0时.
§3.4 理想气体的压强 3.4
3.4.1 对气体压强的定性解释 3.4.2 气体分子对器壁的平均碰撞次数 3.4.3 理想气体压强公式
3.4.1 对气体压强的定性解释
压强p就是在大量分子对器壁的极多次碰撞中, 压强p就是在大量分子对器壁的极多次碰撞中,单位 面积器壁在单位时间内所获得的平均冲量
这种现象是1827年由英国植物学家布朗 这种现象是1827年由英国植物学家布朗 1827 Brown)慎密地在显微镜下观察 (Robert Brown)慎密地在显微镜下观察 到的， 到的 ， 后来就把这种悬浮微粒叫做布朗 粒子， 粒子 ， 把上述的无规运动叫做布朗运动
布朗运动演示
1.布朗粒子的方均位移
化学键
范德瓦尔斯力 (Van der Waals)
静电力(肯色Keesom力 静电力(肯色Keesom力） Keesom 诱导力(德拜Debye Debye力 诱导力(德拜Debye力） 色散力(伦敦London London力 色散力(伦敦London力）
在中性原子或分子之间存在的一种微弱 的吸引力
W N ( n) = N! p n q N −n n!( N − n)!
令步长均为l,则当N步中向右走的步数为n时,布朗粒子离原点 令步长均为l,则当N步中向右走的步数为n l,则当 距离为: 距离为: x = [n − ( N − n)]l = (2n − N )l
所以
2 2 x = ∑ x W N ( n ) = ∑ ( 2n − N ) l
现在让我们来考虑最简单的问题: 现在让我们来考虑最简单的问题: 在经过一段给定的长时间间隔后, 在经过一段给定的长时间间隔后,布朗粒子离开起始位 置的方均位移。 置的方均位移。
[该问题已由爱因斯坦及俄国数学家斯莫卢乔夫斯基 该问题已由爱因斯坦及俄国数学家斯莫卢乔夫斯基(Smoluchowski)所解决 所解决.] 该问题已由爱因斯坦及俄国数学家斯莫卢乔夫斯基 所解决
dI p= dAdt
dA 微观大
dt 微观长
3.4.2 气体分子对器壁的平均碰撞次数 单位时间内、容器中的分子对单位面积器壁的碰撞次数，将其 单位时间内、容器中的分子对单位面积器壁的碰撞次数， 记为 Γ ⑴简单模型 将容器内均以速率 v 运动的分子等分为6队（x,y,z轴正方向与 负方向）。 做一假想柱体,以 dA为底,沿z轴方向的高度为 vdt ,沿负z轴平行 而下运动。 占柱体内分子总数六分之一的分子定能在 dt 内与 dA 相碰 z 这些分子的数目是： n为气体中的 分子ni vix dAdt
= nvix f (vix , viy , viz )dv x dv y dv z dtdA
②各种速度的分子在
+∞ +∞ +∞
vx dt
dt 内与 dA相碰的次数:
, v z )v x dAdt = n ∫ dv x f (v x )v x dAdt
2.朗之万（ngevin)理论
媒质分子作用于布朗粒子上的力： 宏观粘滞阻力（粒子前进方向上的碰撞引起的） 随机涨落力 重力 浮力
法国物理学家朗之万(ngevin)就基于如上考虑 写出 就基于如上考虑,写出 法国物理学家朗之万 就基于如上考虑 布朗粒子在水平方向上的运动方程,即著名的朗之万方程 即著名的朗之万方程, 布朗粒子在水平方向上的运动方程 即著名的朗之万方程 设初条件为:t=0时刻粒子处于 时刻粒子处于x=0处,则可由该方程得到 则可由该方程得到: 设初条件为 时刻粒子处于 处 则可由该方程得到
x
2
kt = 2 t 6π rη
(其中 为玻耳兹曼常数 为媒质的温度 仍为观测所用的 其中k为玻耳兹曼常数 为媒质的温度,t仍为观测所用的 其中 为玻耳兹曼常数,T为媒质的温度 总时间). 总时间 此式与前面用无规行走模型计算的结果相符合,都表明 此式与前面用无规行走模型计算的结果相符合 都表明: 都表明
第3章 气体平衡态的分子 动理论基本概念
§3.1 气体分子热运动的通性 §3.2 分子间的相互作用力 §3.3 气体的微观模型 §3.4 理想气体的压强 §3.5 温度的微观解释 §3.6 范德瓦尔斯方程 §3.7 分子间的碰撞
§3.1 气体分子热运动的通性
3.1.1 布朗运动 3.1.2 分子运动方向的统计描述 3.1.3 分子按速度分布及按速率分布的统 计描述
−∞ −∞ ∞ ∞
f (v x ) = ∫ dv y ∫ dv z f (v x , v y , v z )
−∞ −∞
∞
∞
dN v x = Nf (v x )dv x
f (v y ) = ∫ dv x ∫ dv z f (v x , v y , v z )
−∞ −∞
∞
∞
f (v z ) = ∫ dv x ∫ dv y f (v x , v y , v z )
f (v x , v y , y z )dv x dv y dv z 是分子速度三分量同时分别处于
v x ~ v x + dv x
v y ~ v y + dv y
v z ~ v z + dv z 的概率 概率
由于分子在三方向上的速度分布是互相独立的,因而,根据 相容独立事件的概率乘法定理,
f (v x , v y , y z )dv x dv y dv z = f (v x )dv x f (v y )dv y f (v z )dv z
0 +∞
∫ dv ∫ dv ∫ dv nf (v , v
x y z x 0 −∞ −∞
y
Γ = n ∫ dv x f (v x )v x
0
+∞
f (v z ) =
dN vz Ndv z
f (v x )dv x就是气体分子y和z方向的速度分量任意,而x方向