多元函数条件极值求解方法摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解 多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在 解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。

关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution.Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。

下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。

1.消元法对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。

例1 求函数(,,)f x y z xyz =在条件x －y+z=2下的极值. 解： 由x －y+z=2 解得 2z x y =-+将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 22'2y 20220x yg xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩ 得驻点 1222P P =33（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''= 在点1P 处，0,2,0A B C ===22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33A B C ===224424()03333AC B ∆=-=⨯⨯-=>，又403A =>，所以2P 为极小值点因而，函数(,,)f x y z 在相应点222(,,)333-处有极小值极小值为2228(,,)33327f -=-.2.拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用. 求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)k n x x x k m m n ϕ==≤组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑然后，解方程组0,1,2,,0,,2,i kLi n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,,)i k =，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值. 定理1.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ满足方程组 100mi i i k k klL fx x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，则当方阵 20,12(,,,)m k l n nLx x x λλλ⨯⎛⎫∂ ⎪∂∂⎝⎭为正定（负定）矩阵时，0x 满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.例2.求椭球2222221x y z a b c++=在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 ：此椭球在点000(,,)P x y z 处的切平面为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c -+-+-= 化简,得 0002221x y z x y z a b c ++= 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,a b c x y z则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b c V x y z =由题意可知，体积存在最小值，要使V 最小，则需000x y z 最大；即求目标函数(,,)f x y z xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值，其中0,0,0x y z >>>，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=-++-由 22222222220;20;20;1Lx yz x a L y xz yb L z xy zc x y z ab c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解得x y z ===; min V V ==3. 标准量代换法求含有多个变量的条件极值时,可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示 出来,即可将其变为研究标准量与辅助量间的关系.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例3[4].设x y z a ++=,求222u x y z =++的最小值.解 ： 取33x y z a++= 为标准量, 令 ,33a ax y αβ=-=-,则 3az αβ=++(,αβ为任意实数),从而有 222()()()333a a au αβαβ=-+-+++2222223a αβαβ=+++22222()33a a αβαβ=++++≥ 等号当且仅当0αβ==, 即3ax y z ===时成立， 所以u 的最小值为23a .4.不等式法[4] 4.1 利用均值不等式将目标函数配凑成均值不等式122nn a a a a n+++≤左边或右边的形式，再根据均值不等式中等号成立的充要条件：12n a a a ===，求解多元函数条件极值。

例4.1 已知11112x y z ++=，(0,0,0)x y z >>>，求(,,)222f x y z x y z =++的极小值.解 0,0,0,x y z >>>(,,)222f x y z x y z ∴=++=4(x+y+z)×21 =4(x+y+z)×)11x 1(zy ++4(3)x y y z x z y x z y z x=++++++ 4(3222)36≥+++=当且仅当6x y z ===时，等号成立.4.2利用柯西不等式将目标函数配凑成柯西不等式21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++左边或者右边的形式，再根据柯西不等式中等号成立的充要条件：12,,,n a a a 与1,2,n b b b 对应成比例，来求解多元函数条件极值.例4.2 已知222(2)(1)(4)9x y z -+++-=，求(,,)22f x y z x y z =-+ 的最值.解： 首先将 (,,)22f x y z x y z =-+ 变形为(,,)f x y z =2(2)2(1)(4)10x y z --++-+；再设 (,,)2(2)2(1)(4)g x y z x y z =--++-， 于是，根据柯西不等式及已知条件，有[]22(2)2(1)(4)x y z --++-≤2222222(2)1(2)(1)(4)81x y z ⎡⎤⎡⎤+-+⨯-+++-=⎣⎦⎣⎦即： 92(2)2(1)(4)9x y z -≤--++-≤当且仅当 222214221(2)(1)(4)9x y z k x y z -+-⎧===⎪-⎨⎪-+++-=⎩ 时，等号成立； 即当 1435k x y z =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩时，max (,,)9g x y z =；当 1013k x y z =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩时，min (,,)9g x y z =-，所以，max (,,)19f x y z =，min (,,)1f x y z =.5 梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数时12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,,)i m m n =≤组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i m λϕϕ=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑的解,就是所求极值问题的可能极值点. 其中gradf 表示目标函数12(,,)n f x x x 的梯度向量12(,,,)nf ffx x x ∂∂∂∂∂∂， i grad ϕ表示条件函数12(,,,)i n x x x ϕ的梯度向量12(,,,)i iinx x x ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂ 例5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.解:设两条直角边为,x y ,本题的实质是求(,)f x y x y l =++在条件222x y l +=下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 222222()()grad x y l grad x y l x y lλ⎧++=+-⎪⎨+=⎪⎩ 进一步求解得 {}{}2221,12,2x y x y lλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 容易解出2l x y ==根据题意,22ll ⎛⎫ ⎪⎝⎭是唯一的极大值点,也是最大值点.所以，当两条直角边都为2l时,直角三角形的周长最大. 6. 数形结合法根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质来决定目标函数的条件极值。