第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法
小结
思考题
作业
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第八章 多元函数微分法及其应用
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近 将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域, f ( P ) f ( P0 ), 则称
所以 z f (1,1) 6 为极大值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x , y )的极值.
解 法二 配方法 方程可变形为
( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2)2 16
于是
z 2 16 ( x 1)2 ( y 1)2
※
显然, 当x 1, y 1时, 根号中的极大值为4,
由※可知, z 2 4 为极值. 即 z 6 为极大值, z 2 为极小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
极值只可能在驻点处 注 由极值的必要条件知, 取得. 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,
这些点当然不是驻点, 但也可能是极值点. 如: 函数 z x 2 y 2 在点(0,0)处的偏导数 不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
选择题
2003年考研数学(一), 4分
在点(0,0)处, AC B 2 9a 2 0
故 f ( x , y )在(0,0)无极值; 在点(a,a)处, AC B 2 27a 2 0 且A 6a 0 故 f ( x, y ) 在(a,a)有极大值, 即 f (a, a) a 3 .
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
f z ( x0 , y0 , z0 ) 0.
仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点, 均称为函数的驻点.
注 驻点ห้องสมุดไป่ตู้
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的 驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2 (充分条件) 设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ,
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x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2 2 2 2 y 4上 求 f ( x , y ) x 4 y 9在D : x
的最大值与最小值. 解 令f x 2 x 0, f y 8 y 0 驻点 (0,0) 2 2 将x y 4代入f ( x, y ), 得
2 y 0 , z 1 x x 0 x 1上, ＊在边界线 1 1 3 dz 由于 1 2 x , 有驻点 x ,函数值 z( ,0) 2 4 2 dx
又在端点(1,0)处, 有 z (1,0) 1.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
y
x y1
z 1 x x2 2 y
证 不妨设 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意( x , y ) ( x0 , y0 ), 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ), 故当y y0 , x x0时,
有f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
A z xx |P 1 2 z B z xy |P 0
1 P| yyz C z 2
1 故 AC B 0 ( z 2) 2 (2 z ) 函数在P有极值.
2
将P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6 1 当 z1 2时, A 0, 4 所以 z f (1,1) 2 为极小值; 1 当 z2 6时, A 0, 4
(D) 根据所给条件无法判断点(0, 0)是否为f (x, y) 的极值点.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
4.多元函数的最值 与一元函数相类似,可利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法
将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
有时, 极小值可能比极大值还大.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 容易判断的.
存在极值, 在简单的情形下是
z
例 函数 z 3 x 2 4 y 2
2 2 z x y 例 函数
椭圆抛物面
x z x
O
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
y
下半个圆锥面
O
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). 例 函数 z xy 在(0,0)点无极值.
将上方程组再分别对x, y求偏导数, 1 1 A z xx |P , B z , yy | P xy |P 0, C z 2 z 2 z
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
f ( x, y ) 3 y 13 g( y ) 令g( y ) 6 y 0 y 0
2
y [2,2]
此时 x 4 y 2 2
当y 2时, 均有x 0
f (0,0) 9 f (2,0) 13 f (0,2) 25
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故f ( x, y)在D上的最大值为 25, 最小值为 9.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求函数 f ( x, y ) 3axy x 3 y 3 (a 0) 的极值. 2 f 3 ay 3 x 0 x 驻点 解 (0,0),(a, a ). 2 f y 3ax 3 y 0
又 f xx 6 x, f xy 3a, f yy 6 y .
已知函数f (x, y)在点(0, 0)的某个邻域内连续,
f ( x , y ) xy 则 且 lim 2 2 2 1, x 0 ( x y ) y0
(A) 点(0, 0)不是f (x, y)的极值点. (B) 点(0, 0)是f (x, y)的极大值点. (C) 点(0, 0)是f (x, y)的极小值点.
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x , y )的极值.
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数, 2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2z zy 2 4zy 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1),
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y
x y1
D
O
x
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z 1 x x2 2 y
y
＊在边界线 x 0, 0 y 1上,
z 1 2y x y1 D dz 2 0, z 1 2 y 单调上升. 由于 O x dy 所以, z (0,0) 1 最小, z (0,1) 3 最大.
点P0为函数的极大值点. f ( P0 )为极大值.
类似可定义极小值点和极小值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数的极大值与极小值统称为函数的 极值.
函数的极大值点与极小值点统称为函数的 极值点.
注 多元函数的极值也是局部的, 是与P0的邻域
内的值比较. 一般来说:极大值未必是函数的最大值. 极小值未必是函数的最小值.
则f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值, 当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值; (2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值, 也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
y
马鞍面
z
O
x
y
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点( x0 , y0 )处 有极值, 则它在该
点的偏导数必然为零: f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0.
＊在边界线 x y 1, 0 x 1上,
D
O
z 1 x x 2 2(1 x ) 3 3 x x 2 dz 由于 3 2 x 0 (0 x 1), 函数单调下降, dx z ( 0 ,0 ) 1 所以, 最值在端点处. z (0,1) 3 1 (3) 比较 z (0,0), z (1,0), z (0,1) 及z ( ,0) z (1,0) 1 2 1 3 1 3 zmax z(0,1) 3 z( 2 ,0) 4 zmin z ( ,0) 2 4
由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积 一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方 体体积最大.