成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{|0}=≥U x x ,集合{1}=P ,则U P =ð (A )[0,1)(1,)+∞ (B )(,1)-∞ (C )(,1)(1,)-∞+∞ (D )(1,)+∞2.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是(A ) (B ) (C ) (D ) 3.已知复数z 43i =--(i 是虚数单位),则下列说法正确的是(A )复数z 的虚部为3i - (B )复数z 的虚部为3 (C )复数z 的共轭复数为z 43i =+ (D )复数z 的模为54.函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为(A ) (B ) (C ) (D )5.已知命题p :“若22≥+x a b ,则2≥x ab ”,则下列说法正确的是 (A )命题p 的逆命题是“若22<+x a b ,则2<x ab ” (B )命题p 的逆命题是“若2<x ab ,则22<+x a b ” (C )命题p 的否命题是“若22<+x a b ,则2<x ab ” (D )命题p 的否命题是“若22x a b ≥+,则2<x ab ”GFEHPACBDA 1B 1C 1D 16.若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根,则实数a 的取值范围是 (A )(3,)-+∞ (B )[3,0]- (C )(0,)+∞ (D )[0,3]7.已知F 是椭圆22221+=x y a b(0>>a b )的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,⊥PF x轴.若14=PF AF ,则该椭圆的离心率是 (A )14(B )34 (C )12(D8.已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同的平面,且//m α,n ⊂β,则下列叙述正确的是(A )若//αβ,则//m n (B )若//m n ,则//αβ (C )若n α⊥,则m β⊥ (D )若m β⊥,则αβ⊥9.若552sin =α,1010)sin(=-αβ,且],4[ππα∈,]23,[ππβ∈,则αβ+的值是 (A )74π (B )94π (C )54π或74π (D )54π或94π 10.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4,点H 在棱1AA 上,且11HA =.在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ,P 是侧面11BCC B 内一动点,且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时, 2HP 的最小值是 (A )21(B )22 (C )23 (D )25二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若非零向量a ,b 满足a b a b +=-,则a ,b 的夹角的大小为__________. 12.二项式261()x x-的展开式中含3x 的项的系数是__________.(用数字作答)13.在∆ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2=c a ,4=b ,1cos 4=B ,则∆ABC 的面积=S __________.14.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,3()log (1)=+f x x .若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ,函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ,若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是__________.15.已知曲线C :22y x a =+在点n P (n (0,a n >∈N )处的切线n l 的斜率为n k ,直线n l 交x 轴,y 轴分别于点(,0)n n A x ,(0,)n n B y ,且00=x y .给出以下结论: ①1a =;②当*n ∈N 时,n y 的最小值为54; ③当*n ∈N 时,n k <; ④当*n ∈N时,记数列{}n k 的前n 项和为n S ,则1)<n S .其中,正确的结论有 (写出所有正确结论的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的2个红球,4个黑球.现从中同时取出3个球.(Ⅰ)求恰有一个黑球的概率;(Ⅱ)记取出红球的个数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望()E X .17.(本小题满分12分)如图,ABC ∆为正三角形,EC ⊥平面ABC ,//DB EC ,F 为EA 的中点,2EC AC ==,1BD =.(Ⅰ)求证:DF //平面ABC ;(Ⅱ)求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值. 18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-;数列{}n b 满足11b =,12n n b b +=+.*n ∈N .(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记n n n c a b =,*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.(本小题满分12分)某大型企业一天中不同时刻的用电量y (单位:万千瓦时)关于时间t (024t ≤≤,单位:小时)的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<,下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象. (Ⅰ)根据图象,求A ,ω,ϕ,B 的值; (Ⅱ)若某日的供电量()g t (万千瓦时)与时间t (小时)近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g (012t ≤≤).当该日内供电量小于该企业的用电量时,企业就必须停产.请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻(精确度0.1). 参考数据:20.(本小题满分13分)已知椭圆Γ:12222=+by a x (0>>b a )的右焦点为)0,22(,且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;(Ⅱ)设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ,B ,且AB =0(,2)P x 满足=PA PB ,求0x 的值.21.(本小题满分14分)已知函数2()ln mx f x x =-,2()emx mx g x m =-,其中m ∈R 且0m ≠.e 2.71828=为自然对数的底数.(Ⅰ)当0m <时,求函数()f x 的单调区间和极小值;(Ⅱ)当0m >时,若函数()g x 存在,,a b c 三个零点,且a b c <<,试证明:10e a b c -<<<<<;(Ⅲ)是否存在负数m ,对1(1,)x ∀∈+∞,2(,0)x ∀∈-∞,都有12()()f x g x >成立?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)1.A ; 2.C ; 3.D ;4.A ;5.C ;6.B ;7.B ;8.D ;9.A ;10.B .第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二、填空题:(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.90︒ 12.20- 1314.[2,0]- 15.①③④ 三、解答题:(本大题共6个小题,共75分) 16.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)记“恰有一个黑球”为事件A ,则21243641()205⋅===C C P A C .……………………………………………………………4分(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,则343641(0)205====C P X C ……………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C ………………………………………………………2分 1(2)()5===P X P A ………………………………………………………………2分 ∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX .…………………………………2分 17.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明:作AC 的中点O ,连结BO .在∆AEC 中,//=FO 12EC ,又据题意知,//=BD 12EC .∴//=FO BD ,∴四边形FOBD 为平行四边形.∴//DF OB ,又⊄DF 平面ABC ,⊂OB 平面ABC . ∴//DF 平面ABC .……………………………………4分 (Ⅱ)∵//FO EC ,∴⊥FO 平面ABC .在正∆ABC 中,⊥BO AC ,∴,,OA OB OF 三线两两垂直. 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴,建系如图. 则(1,0,0)A ,(1,0,2)-E,D . ∴(2,0,2)=-AE,(1=-AD . 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ,则110⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n,即2200-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩x z x z ,令1=x ,则1,0==z y .∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n . 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n .∴121212,2⋅>===cos <n n n n n n . ∴平面DEA 与平面ABC.…………………………8分 18.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)∵22n n S a =- ①当2≥n 时,1122--=-n n S a ②①-②得,122-=-n n n a a a ,即12-=n n a a (2≥n ). 又当1≥n 时,1122=-S a ,得12=a .∴数列{}n a 是以2为首项,公比为2的等比数列,∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a .………………………………………4分 又由题意知,11b =,12n n b b +=+,即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1,公差为2的等差数列,∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n .……………………………2分(Ⅱ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,(21)2=-n n c n ………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n …………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n …………………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………………3分 19.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由图知12T =,6πω=.………………………………………………………1分2125.15.22m i n m a x =-=-=y y A ,225.15.22min max =+=+=y y B .……………2分 ∴0.5sin()26y x πϕ=++.又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5).代入,得22k πϕπ=+,又0ϕπ<<,∴2πϕ=.…………………………………2分综上,21=A ,6πω=,2πϕ=,21=B . ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f . (Ⅱ)令)()()(t g t f t h -=,设0)(0=t h ,则0t 为该企业的停产时间. 由0)11()11()11(<-=g f h ,0)12()12()12(>-=g f h ,则)12,11(0∈t . 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ,则)12,5.11(0∈t . 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ,则)75.11,5.11(0∈t . 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ,则)75.11,625.11(0∈t .又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ,则)6875.11,625.11(0∈t .…4分……………………………………………1分 ∴应该在11.625时停产.……………………………………………………………1分 (也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ,0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ,得出)6875.11,625.11(0∈t ;答案在11.625—11.6875之间都是正确的;若换算成时间应为11点37分到11点41分停产) 20.(本小题满分13分)(Ⅰ)由已知2=a得=a,又=c ∴2224=-=b a c .∴椭圆Γ的方程为141222=+y x .…………………………………………………4分 (Ⅱ)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ,∴△0)123(163622>--=m m , 得216<m .设),(11y x A ,),(22y x B ,则1x ,2x 是方程①的两根,则2321mx x -=+, 2123124-⋅=m x x .∴12=-=AB x又由AB =231294-+=m ,解之2m =±.……………………………3分 据题意知,点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点. 设AB 的中点为),(00y x E ,则432210m x x x -=+=,400mm x y =+=,当2m =时,31(,)22E -∴此时,线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+,即1y x =--.令2=y ,得03x =-.…………………………………………………………………2分当2m =-时,31(,)22E -∴此时,线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--,即1y x =-+. 令2=y ,得01x =-.………………………………………………………………2分 综上所述,0x 的值为3-或1-. 21.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='(0>x 且1≠x ).∴由0)(>'x f ,得21e x >;由0)(<'xf ,得210e x <<,且1≠x .……………………1分 ∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1,单调递增区间是),(+∞e .………………2分 ∴me e f x f 2)()(-==极小值.………………………………………………………………1分(Ⅱ)222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e --'=-=>. ∴()g x 在(,0)-∞上单调递增,2(0,)m上单调递减,2(,)m +∞上单调递增.∵函数()g x 存在三个零点.∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e . ∴02<<me …………………………………………………………………………………3分 由(1)(1)0-=-=-<mmg m me m e .∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e.……………………………………………………1分综上可知,()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ,结合函数()g x 单调性及a b c <<可得:(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞.即10a b e c -<<<<<,得证.…………………………………………………………1分(III )由题意,只需min max ()()>f x g x ∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x由0<m ,∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减,在12(,)e +∞上单调递增.∴12min ()()2==-f x f e me .………………………………………………………………2分 ∵(2)()-'=mxmx mx g x e由0<m ,∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增,2(,0)m上单调递减. ∴max 224()()==-g x g m m e m .……………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ,不等式两边同乘以负数m ,得22242-<-m e m e.∴224(21)e m e+>,即224(21)m e e >+.由0<m ,解得m <.综上所述,存在这样的负数(,)(21)∈-∞-+m e e 满足题意.……………………………1分。