初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析一、选择题（共15 小题）1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac> 0 B 方程ax2+bx+c=0 的两根是x i= - 1, x2=3C 2a- b=0 D、当x > 0时，y随x的增大而减小2、（2010?梧州）已知二次函数y=a/+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac v 0 B a - b+c> 0C b= - 4a D、关于x 的方程ax2+bx+c=0 的根是x i= - 1, x2=53、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c 中，4a- b=0，a- b+c> 0，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc v 0B、c> 0C、4a> cD、a+b+c> 04、抛物线y=ax2+bx+c 在x 轴的下方，则所要满足的条件是（）A a v 0, b2—4ac v 0 B、a v 0, b2- 4ac> 0C、a>0, b2- 4ac v0D、a>0, b2- 4ac> 05、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c （a^0的图象经过点（-1, 2），且与x轴交点的横坐标分别为X1，X2，其中-2v X1V- 1，0 v X2V 1，下列结论：①abc > 0;②4a - 2b+c v 0；③2a - b v 0；④b 2+8a>4ac. 其中正确的有（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个6、已知：a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（A、7、已知y i=a i x2+b i x+c i, y2=a2x2+b2x+c2且满足.则称抛物线y i, y2互为友好抛物线”，则下列关于友好抛物线”的说法不正确的是（）A、y i，y2开口方向、开口大小不一定相同B因为y i，y2的对称轴相同C、如果y2的最值为m，则y i的最值为kmD、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y i与x轴的两交点间距离为|k|d&已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （-I, 0）两点，与y轴交于D （0,），顶点为B,则四边形ABCD的面积为（）A、9 B I0C iiD i29、（2005?浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0 （a工,a、b、c为常数）一个解的范围是（）A、3 v x v 3.23B、3.23 v x v 3.24C 3.24 v X V 3.25 D、3.25 v x v 3.2610、根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0 （a工,a, b, c为常数）的一个解x的范围是（）A、8v x v 9B、9v x v 10C、10v x v 11D、11v x v 1211、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象,由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根分别是x1=1.6, x2=（）A、- 1.6 B 3.2C 4.4 D以上都不对12、（2011?无锡）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1v 0的解集是（）A、x> 1 B x v—1C、0v x v 1D、- 1 v x v 013、（2005?中原区）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a> 0 的解集是（）A、x vB、x vC、x>D、x>14、方程7x2—（k+13）x+k2—k—2=0 （k 是实数）有两个实根a 且0v av 1, 1 v 3< 2, 那么k 的取值范围是（）A、3v k v 4B、—2v k v—1C 3v k v 4 或-2v k v—1 D、无解15、对于整式x2和2x+3，请你判断下列说法正确的是（）A、对于任意实数x,不等式x2>2x+3都成立B对于任意实数x,不等式x2v 2x+3都成立C、x v 3 时,不等式x2v 2x+3 成立D、x> 3 时,不等式x2> 2x+3 成立二、解答题（共7 小题）16、已知抛物线y=x2+2px+2p—2 的顶点为M,(1)求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2)设抛物线与x轴的交点分别为A, B,求实数p的值使△ ABM面积达到最小.17、已知：二次函数y= (2m - 1) /-( 5m+3) x+3m+5(1 ) m 为何值时，此抛物线必与x 轴相交于两个不同的点；(2)m 为何值时，这两个交点在原点的左右两边；(3)m 为何值时，此抛物线的对称轴是y 轴；( 4) m 为何值时，这个二次函数有最大值.18、已知下表：( 1 )求a、 b 、 c 的值，并在表内空格处填入正确的数；( 2 )请你根据上面的结果判断：①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在，求出这个实数值；若不存在, 请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+bx+c>0.19、( 2005?滨州)(I)请将下表补充完整；(n )利用你在填上表时获得的结论，解不等式- x2- 2x+3v0;(川)利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式;(W )试写出利用你在填上表时获得的结论解一兀二次不等式ax2+bx+c> 0( a工0时的解题步骤.20、已知二次函数y=ax2+bx+c(a, b , c均为实数且a工0满足条件：对任意实数x都有y > 2; 且当0v x v 2时，总有y哦立.(1 )求a+b+c的值；(2)求a- b+c的取值范围.21、 ( 2007?贵阳)二次函数y=ax2+bx+c (a工0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1 )写出方程ax^+bx+c=0的两个根；(2)写出不等式ax2+bx+c> 0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.22、阅读材料，解答问题.例.用图象法解一元二次不等式：x2- 2x- 3> 0.解：设y=x2- 2x- 3，则y是x的二次函数.•/ a=1> 0,二抛物线开口向上.又•••当y=0时，x2- 2x- 3=0,解得x i = - 1, X2=3.二由此得抛物线y=/- 2x- 3的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当x v - 1或x> 3时，y> 0. ••• x2- 2x- 3> 0的解集是：xv- 1 或x> 3.(1 )观察图象，直接写出一元二次不等式：x2- 2x- 3 v 0的解集是 _____________ ;(2 )仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2- 5x+6 v 0 .（画出大致图象）三、填空题(共4小题)23、二次函数y=ax2+bx+c (a工0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1 )写出方程ax2+bx+c=0的两个根. x i= ___________ , x2= __________ ;(2) ________________________________________ 写出不等式ax2+bx+c> 0的解集. ;(3)写出y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围. ——;(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. _____________ 24、( 2010?日照)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B2 225、二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+ n的图象如图所示，贝U ax2+bx+c < mx+时，x的取( 3 , 0 ),则由图象可知，不等式ax2+bx+c > 0的解集是值范围是_ _ .26、如图，已知函数y=a/+bx+c与y=-的图象交于A (- 4, 1)、B (2, - 2)、C (1,- 4)三点，根据图象可求得关于x的不等式ax2+bx+c< -的解集为_ _ .答案与评分标准一、选择题（共15 小题）1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac> 0 B 方程ax2+bx+c=0 的两根是x i= - 1, x2=3C 2a- b=0 D、当x > 0时，y随x的增大而减小考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。
专题：计算题。
分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断．解答：解：A、•••抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，••• a v 0, c> 0, ac v 0，故本选项错误；B、•••抛物线对称轴是x=1,与x轴交于（3 , 0）, •••抛物线与x轴另一交点为（-1, 0）, 即方程ax2+bx+c=0的两根是x i=- 1, x2=3，故本选项正确；C、•••抛物线对称轴为x=- =1, • 2a+b=0,故本选项错误；D、•••抛物线对称轴为x=1,开口向下，•••当x> 1时，y随x的增大而减小，故本选项错误. 故选B．点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系.关键是会利用对称轴的值求2a 与b 的关系,对称轴与开口方向确定增减性,以及二次函数与方程之间的转换.2、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac v 0 B a - b+c> 0C、b= - 4aD、关于x 的方程ax2+bx+c=0 的根是x i= - 1, x2=5考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据抛物线与x 轴交点及x=1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A、该二次函数开口向下，则a v 0;抛物线交y轴于正半轴，则c> 0;所以acv 0，正确；B、由于抛物线过（-1, 0），则有：a - b+c=0,错误；C、由图象知：抛物线的对称轴为x=- =2，即b=- 4a,正确；D、抛物线与x轴的交点为（-1, 0）、（5, 0）；故方程ax2+bx+c=0的根是x i = - 1, x2=5, 正确；故选B．点评：由图象找出有关a, b, c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c, y=a- b+c,然后根据图象判断其值.3、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c 中，4a- b=0，a- b+c> 0，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc v 0B、c> 0C、4a> cD、a+b+c> 0考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。