11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
基础解系的线性组合
k11 k22 knr nr
为其通解
任一解可表示为一特解与 导出组的解之和
其 一 特 解 与 导 出 组 通 解之 和
k11 k22 knr nr
为其通解
1 0 2 2 6 6
0 1 1 1 5 4
4 5 3 3 1
4
0 1 1 1 5 4
1 0 2 2 6 6
r3 r2 r4 r2
r1 r2
0
1
1
1
5
4
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
0
0
得到非齐次线性方程组的同解方程组为
x1 x2
6 4
2x3 2x4 x3 x4
,
线性表示
n
（3）向量组1,2, ,n与向量组1,2 , ,n , b等价
（4）系数矩阵A (1,2, ,n )与其增广矩阵 A (1,2, ,n , b)的秩相等. 即 R( A) R(A)
通常用 (4) 来判断 (1)
三、非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组解的性质：
性质1 设1 , 2 是 AX b 的任意两个解，
例 问方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3
x1
x2
x3
2
当 为何值时方程组有唯一解；无解；无穷多解？
解：
A
1
1
1 1
1
1 r1 r3 1
1
1
2
1 1 2
1
1
1
r2 r1
1
r3 r1 0
0
1
1 1
1 1 2
2 2
1
3
1 r3r1 0
0
1
1
0
1 2 2
2
2
1
3
2
1 1
2
0 1
1
(1 )
所以
0
0
(1 )( 2)
(1
)2
(1
)
当R( A) 3,即 1, 2时,方程组有唯一解.
当R( A) R( A) 3,即 1时, 方程组有无穷多解
当R( A) R( A),即 2时, 方程组无解。
即
aa12
a3 2a4 0 2a3 3a4 0
即
aa12
a3 2a4 2a3 3a4
所以
a1 1 2
a2 aa43
c1
2
1
0
c2
3
0
1
即所求方程组为：
2xx1123xx22xx34
0 0
小结
R( A) r n时， 有唯一零解
线性方程组 解的存在性
齐次线性方
6x5 5x5
令 x3 x4 x5 0 解得 x1 6 , x2 4
从而得到非齐次线性方程组的一个解 (6,4,0,0,0)T
对应齐次线性方程组的同解方程组为
x1 x2
2x3 2x4 x3 x4
6x5 5 x5
令
x3
x4 分别取
x5
1 0 0
0 , 1 0
则 1 2 是对应的齐次线性方程组 AX 0的解
证明 A A(1 2 ) A1 A2 b b 0
性质2 设是AX 0的通解， 是AX b的一个解 则 AX b 的任一解为 X
证明 设X是AX b的任一解,则X-ξ *总是
AX 0 的解,用 表示之，有X -
A A[21 (2 3 )] 2b (b b) 0
即是Ax 0的解，
3
21
(2
3
)
4 5
0
6
AX 0 基础解系中应含n-r=4-3=1个向量
非齐次线性方程组的通解为
3 2
x
k
1
k 4 5
3 4
6 5
例 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：
1 0, 1, 2 , 3T , 2 3 , 2 , 1, 0T
(1) 的方程组
一方面它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 , xn )T
b (b1, b2 , bm )T
对方程组的系数矩阵A按列分块，记作A= (a1,a 2 , a n )
另一方面它也可写成向量方程
x a + x a + x a b (3)
第三节 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组的概念 非齐次线性方程组有解的条件 非齐次线性方程组解的结构
一、非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
形如
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
称为非齐次线性方程组
程组 AX 0
非齐次线性方
程组 AX b
R( A) r n时， 有无穷多解
R( A) R( A)时，无解
R( A) R( A) n时， 有唯一解
R(线性 组合仍为其解
线性方程组 解的结构
齐次线性方
程组 AX 0
非齐次线性方
程组 AX b
从而 X=
定理
对非齐次线性方程组 AX b
若 r（A）=r (A) r 且已知1 ,2 , nr
是 AX 0 的基础解系， 0 是 AX b
是的某个已知解，则 AX b 的通解为
X 0 c11 c22 cnr nr
其中 c1 ,c2 , cnr 是任意实数。
x1 x2 x3 x4 x5 2
例
求
方程组
x1 2 x2
4x5 2
x1 2 x3 2 x4 6 x5 6
4 x1 5 x2 3 x3 3 x4 x5 4
的通解
解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
1
2
0
0
4
2
r2 r1
r3 r1 0 r4 4r1
1
1 1 5 4