二次函数专项复习经典试题集锦（含答案）一、选择题：1. 抛物线 y = (x - 2) 2 + 3 的对称轴是（ ）A. 直线 x = -3B. 直线 x = 3C. 直线 x =2.二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 的 图 象 如 右 图 ， 则M (b , c) 在（）aA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ，且 a < 0 ， a - b + c > 0 ，则一定有（）A. b 2 - 4ac > 0B. b 2 - 4ac = 0C. b 2 - 4ac < 0D. b 2 - 4ac ≤04. 把抛物线 y = x 2 + bx + c 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是y = x 2 - 3x + 5 ，则有（ ）A. b = 3 ， c = 7 C. b = 3 ， c = 3B. b = -9 ， c = -15D. b = -9 ， c = 215. 下面所示各图是在同一直角坐标系内， 二次函数 y = ax 2 + (a + c )x + c 与一次函数y = ax + c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）D6. 抛物线 y = x 2 - 2x + 3 的对称轴是直线（ ） A. x = -2B. x = 2C. x = -1D. x = 17. 二次函数 y = (x - 1) 2 + 2 的最小值是（ ）A. -2B. 2C. -1D. 18. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，若 M = 4a + 2b + cN = a - b + c ， P = 4a - b ，则（）A. M > 0 ， N > 0 ， P > 0B. M < 0 ， N > 0 ， P > 0C. M > 0 ， N < 0 ， P > 0D. M < 0 ， N > 0 ， P < 0 二、填空题：9. 将二次函数 y = x 2 - 2x + 3 配方成 y = (x - h )2 + k 的形式，则 y = .10. 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的情况是.11. 已知抛物线 y = ax 2 + x + c 与 x 轴交点的横坐标为-1 ，则 a + c =.12. 请你写出函数 y = (x + 1) 2 与 y = x 2 + 1 具有的一个共同性质：.13. 已知二次函数的图象开口向上，且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式： . 14. 如图，抛物线的对称轴是 x = 1 ，与 x 轴交于 A 、B 两点，若 B 点坐标是( 3,0) ，则 A 点的坐标是.三、解答题：1. 已知函数 y = x 2+ bx - 1 的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式； （2）当 x > 0 时，求使 y ≥2 的 x 的取值范围.yO A 1x-1 B2、如右图，抛物线 y = -x 2 + 5x + n 经过点 A (1, 0) ，与 y 轴交于点 B .（1）求抛物线的解析式；（2）P 是 y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求点 P 的坐标.3．如图，抛物线 y 1=﹣x 2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y 2，回答下列问题：（1） 抛物线 y 2 的顶点坐标 ；（2） 阴影部分的面积 S=；（3） 若再将抛物线 y 2 绕原点 O 旋转 180°得到抛物线 y 3，求抛物线 y 3 的解析式．4．（1999•烟台）如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+交 x 轴正半轴于 A ，B 两点，交 y 轴于点 C ，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式．5.如图，抛物线y=x2+bx﹣c 经过直线y=x﹣3 与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4 的点P 的坐标．6.如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y 轴的负半轴交于点B，且OB=OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC 的值．7.如图，抛物线y=x2﹣2x+c 的顶点A 在直线l：y=x﹣5 上．（1）求抛物线顶点A 的坐标及c 的值；（2）设抛物线与y 轴交于点B，与x 轴交于点C、D（C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状．8、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30 万元；（3）求第8 个月公司所获利润是多少万元？参考答案一、选择题：二、填空题：1. y = (x - 1) 2+ 22. 有两个不相等的实数根3. 14. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5. y =1x 2-8x + 3 或y =-1x 2+8x - 3 或y =1x 2-8x + 1 或y =-1x 2+8x - 1 5 5 5 5 7 7 7 76. y =-x 2+ 2x + 1 等（只须a < 0 ，c > 0 ）7. (2 - 3, 0)8. x = 3 ，1 <x < 5 ，1，4三、解答题：1. 解：（1）∵函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2），∴ 9+3b-1=2. 解得b=-2.∴函数解析式为y =x 2- 2x - 1 .（2）当x = 3 时，y = 2 .根据图象知当x≥3 时，y≥2.∴当x > 0 时，使y≥2 的x 的取值范围是x≥3.2. 解：（1）由题意得-1 + 5 +n = 0 . ∴ n =-4 . ∴抛物线的解析式为y =-x 2+ 5x - 4 .OA 2 + OB 2 17 ⎩ ⎩ ⎪= - -2 （2）∵点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为(0, -4) .∴OA =1，OB =4.在 Rt △OAB 中， AB = = ，且点 P 在 y 轴正半轴上. ①当 PB =PA 时， PB = . ∴ OP = PB - OB = - 4 . 此时点 P 的坐标为(0, - 4) .②当 PA =AB 时，OP =OB =4此时点 P 的坐标为（0，4）.3. 解：（1）设 s 与 t 的函数关系式为 s = at 2 + bt + c ，⎧a = 1 ,⎧a + b + c = -1.5, ⎪⎧a + b + c = -1.5, ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 由题意得⎨4a + 2b + c = -2, 或⎨4a + 2b + c = -2, 解得⎨b = -2,∴ s = t 2 - 2t . ⎪25a + 5b + c = 2.5； ⎪c = 0.⎪c = 0. ⎩（2）把 s =30 代入 s = 1 t 2 - 2t ，得30 = 1t 2 - 2t . 解得t = 10 ， t = -6 （舍去）2 21 2答：截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元.（3）把 t = 7 代入，得 s = 1⨯ 72 - 2 ⨯ 7 = 10.5.2把t = 8 代入，得 s = 1⨯ 82 - 2 ⨯ 8 = 16.216 - 10.5 = 5.5 .答：第 8 个月获利润 5.5 万元.4. 解：（1）由于顶点在 y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为 y = ax 2 +9.10因为点 A (- 5 , 0) 或 B ( 5 , 0) 在抛物线上，所以 0 = a ·(- 5 ) 2 + 9 ，得 a 18.2 2 2 10 125因此所求函数解析式为 y = - x 2 + 9 5 5（ ≤x ≤ ）. 125 102 2 9 9 18 9 5（2）因为点 D 、E 的纵坐标为 ，所以20 20 = - 125 + ，得 x = ± 2 . 10 417 17 17 18所以点 D 的坐标为(- 5 4 2, 9 20 ) ，点 E 的坐标为( 5 4 2, 9) .20所以 DE = 54 2 - (- 542 ) = 52 .2 5因此卢浦大桥拱内实际桥长为 22 ⨯ 1100 ⨯ 0.01 = 275 ≈ 385 （米）.5. 解：（1）∵AB =3， x 1 < x 2 ，∴ x 2 - x 1 = 3 . 由根与系数的关系有 x 1 + x 2 = 1 .∴ x 1 = -1， x 2 = 2 .m ∴OA =1，OB =2， x 1 ·x 2 = a= -2 .∵ tan ∠BAC = tan ∠ABC = 1 ，∴ OC OA∴OC =2. ∴ m = -2 , a = 1.= OC OB= 1 .∴此二次函数的解析式为 y = x 2 - x - 2 .（2）在第一象限，抛物线上存在一点 P ，使 S △PAC =6.解法一：过点 P 作直线 MN ∥AC ，交 x 轴于点 M ，交 y 轴于 N ，连结 PA 、PC 、MC 、NA .∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC = S △PAC =6.由（1）有 OA =1，OC =2.∴ 1⨯ AM ⨯ 2 = 2 1 ⨯ CN ⨯ 1 = 6 . ∴AM =6，CN =12. 2∴M （5，0），N （0，10）.∴直线 MN 的解析式为 y = -2x + 10 .⎧ y = -2x + 10, ⎧x 1 = 3 ⎧x 2 = -4,由⎨ y = x 2 - x - 2, 得⎨ y = 4 ⎨ y = 18 （舍去） ⎩ ⎩ 1 ；⎩ 2∴在 第一象限，抛物线上存在点 P (3, 4) ，使 S △PAC =6.解法二：设 AP 与 y 轴交于点 D (0, m ) （m >0）2OA 2 + OB 2 5 5 5 ⎩ 6 ∴直线 AP 的解析式为 y = mx + m .⎧ y = x 2 - x - 2, ⎨y = mx + m .∴ x 2 - (m + 1)x - m - 2 = 0 .∴ x A + x P = m + 1，∴ x P = m + 2 .1 1 1又 S △PAC = S △ADC + S △PDC = 2 CD · AO + 2 CD · x P = 2CD ( AO + x P ) .∴ 1(m + 2)(1 + m + 2) = 6 ， m 2 + 5m - 6 = 0 2∴ m = 6 （舍去）或 m = 1 .∴在 第一象限，抛物线上存在点 P (3, 4) ，使 S △PAC =6.提高题1. 解：（1）∵抛物线 y = x 2 + bx + c 与 x 轴只有一个交点，∴方程 x 2 + bx + c = 0 有两个相等的实数根，即b 2 - 4c = 0 . ① 又点 A 的坐标为（2，0），∴ 4 + 2b + c = 0 . ②由①②得b = -4 ， a = 4 .（2）由（1）得抛物线的解析式为 y = x 2 - 4x + 4 . 当 x = 0 时， y = 4 . ∴点 B 的坐标为（0，4）.在 Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得 AB = = 2 .∴△OAB 的周长为1 + 4 + 2 = 6 + 2 .2. 解：（1） S = 10 ⨯ (- x 10 + 7 x + 10 7) ⨯ (4 - 3) - x = -x 2 10+ 6x + 7 .当 x = - 2 ⨯ (-1) = 3 时， S 最大 = 4 ⨯ (-1) ⨯ 7 - 624 ⨯ (-1)= 16 .∴当广告费是 3 万元时，公司获得的最大年利润是 16 万元.2⎨⎪ - （2）用于投资的资金是16 - 3 = 13 万元.经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取 A 、B 、E 各一股，投入资金为5 + 2 + 6 = 13 （万元），收益为 0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；另一种是取 B 、D 、E 各一股，投入资金为 2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为 0.4+0.5+0.9=1.8 （万元）>1.6（万元）.3. 解： （ 1） 设抛物线的解析式为 y = ax 2 ， 桥拱最高点到水面 CD 的距离为 h 米， 则 D (5, -h ) ，B (10, -h - 3) .⎧25a = -h , ∴ ⎩100a = -h - 3.⎧a = - 1 , 解得⎨ 25 ⎪⎩h = 1.∴抛物线的解析式为 y = - 1 x 2.25（2）水位由 CD 处涨到点 O 的时间为 1÷0.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为 40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到 x 千米/时， 当 4x + 40 ⨯ 1 = 280 时， x = 60 .∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过 60 千米/时.x - 2704. 解：（1）未出租的设备为套，所有未出租设备的支出为(2x 540) 元.10x - 270 1（2） y = (40 - )x - (2x - 540) = - x 2 + 65x + 540 .10 10∴ y = -10x 2+ 65x + 540 .（说明：此处不要写出 x 的取值范围） （3）当月租金为 300 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为 37 套；当月租金为 350元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为 32 套.因为出租 37 套和 32 套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租 32 套； 如果考虑市场占有率，应选择出租 37 套. （4） y = -10 x 2 + 65x + 540 = - 1 (x - 325) 2 + 11102.5 . 10∴当 x = 325 时，y 有最大值 11102.5. 但是，当月租金为 325 元时，租出设备套数为 34.5，而 345.不是整数，故租出设备应为 34 套或 35 套. 即当月租金为为 330 元（租出 34 套）或月租金为 320 元（租出 35 套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为 11100 元.16．如图，抛物线 y 1=﹣x 2+2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y 2，回答下列问题：（1） 抛物线 y 2 的顶点坐标 （1，2）；1 1（2）阴影部分的面积S= 2 ；（3）若再将抛物线y2 绕原点O 旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3 的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接应用二次函数的知识解决问题．解答：解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2 分）（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6 分）（3）由题意可得：抛物线y3 的顶点与抛物线y2 的顶点关于原点O 成中心对称．所以抛物线y3 的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3 的解析式为：y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1，所以y3=（x+1）2﹣2．（10 分）20．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x 轴正半轴于A，B 两点，交y 轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC 的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．分析：根据抛物线的解析式，易求得C 点的坐标，即可得到OC 的长；可分别在Rt△OBC 和Rt△OAC 中，通过解直角三角形求出OB、OA 的长，即可得到A、B 的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式．解答：解：由题意得C（0，）在Rt△COB 中，∵∠CBO=60°，∴OB=OC•cot60°=1∴B 点的坐标是（1，0）；（1 分）在Rt△COA 中，∵∠CAO=45°，∴OA=OC=∴A 点坐标（，0）由抛物线过A、B 两点，得解得∴抛物线解析式为y=x2﹣（）x+（4 分）设直线BC 的解析式为y=mx+n，得n=，m=﹣∴直线BC 解析式为y=﹣x+．（6 分）23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c 经过直线y=x﹣3 与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4 的点P 的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：（1）先根据直线y=x﹣3 求出A、B 两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C，D 两点的坐标，由于△APC 和△ACD 同底，因此面积比等于高的比，即P 点纵坐标的绝对值：D 点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P 点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P 点的坐标．解答：解：（1）直线y=x﹣3 与坐标轴的交点A（3，0），B（0，﹣3）．则，解得，∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3．（2）抛物线的顶点D（1，﹣4），与x 轴的另一个交点C（﹣1，0）．设P（a，a2﹣2a﹣3），则（×4×|a2﹣2a﹣3|）：（×4×4）=5：4．化简得|a2﹣2a﹣3|=5．当a2﹣2a﹣3=5，得a=4 或a=﹣2．∴P（4，5）或P（﹣2，5），当a2﹣2a﹣3＜0 时，即a2﹣2a+2=0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．27.如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y 轴的负半轴交于点B，且OB=OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC 的值．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：（1）由抛物线解析式确定出顶点A 坐标，根据OA=OB 确定出B 坐标，将B 坐标代入解析式求出a 的值，即可确定出解析式；（2）将C 坐标代入抛物线解析式求出b 的值，确定出C 坐标，过C 作CD 垂直于x 轴，三角形ABC 面积=梯形OBCD 面积﹣三角形ACD 面积﹣三角形AOB 面积，求出即可．解答：解：（1）由投影仪得：A（﹣1，0），B（0，﹣1），将x=0，y=﹣1 代入抛物线解析式得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（2）过C 作CD⊥x 轴，将C（﹣3，b）代入抛物线解析式得：b=﹣4，即C（﹣3，﹣4），则S△ABC=S 梯形OBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．28.如图，抛物线y=x2﹣2x+c 的顶点A 在直线l：y=x﹣5 上．（1）求抛物线顶点A 的坐标及c 的值；（2）设抛物线与y 轴交于点B，与x 轴交于点C、D（C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状．考点：二次函数综合题．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A 的横坐标，然后代入直线l 的解析式中求出点A 的坐标，再将点A 的坐标代入抛物线的解析式y=x2﹣2x+c 中，运用待定系数法即可求出c 的值；（2）先由抛物线的解析式得到点B 的坐标，再求出AB、AD、BD 三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD 是直角三角形．解答：2解：（1）∵y=x ﹣2x+c，∴顶点A 的横坐标为x=﹣=1，又∵顶点A 在直线y=x﹣5 上，∴当x=1 时，y=1﹣5=﹣4，∴点A 的坐标为（1，﹣4）．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3．故抛物线顶点A 的坐标为（1，﹣4），c 的值为﹣3；（2）△ABD 是直角三角形．理由如下：∵抛物线y=x2﹣2x﹣3 与y 轴交于点B，∴B（0，﹣3）．当y=0 时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C（﹣1，0），D（3，0）．∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD 是直角三角形．。