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(新)高三立体几何习题(文科含答案)

23正视图 图1侧视图 图22 2图3立几习题21若直线l 不平行于平面a ,且l a ∉,则 A .a 内的所有直线与异面 B .a 内不存在与l 平行的直线 C .a 内存在唯一的直线与l 平行 D .a 内的直线与l 都相交 2.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(A )12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒(B )12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥(C )233////l l l ⇒1l ,2l ,3l 共面(D )1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面3.如图1 ~ 3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为 A .3 B .4 C .3 D .24.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ) A.283π- B.83π-C.8-2πD.23π5、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB=AD ,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD的中点 求证:(1)直线E F ‖平面PCD ; (2)平面BEF ⊥平面PAD5(本小题满分13分)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OD=,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形。

OA=,21∥;(Ⅰ)证明直线BC EF-的体积.(Ⅱ)求棱锥F OBED6.(本小题共14分)如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(Ⅰ)求证:DE∥平面BCP;(Ⅱ)求证:四边形DEFG为矩形;.(Ⅲ)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由7.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB。

(I )求证:CE ⊥平面PAD ;(11)若PA=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD 的体积8.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2,侧棱长为32,点E 在侧棱1A A 上,点F 在侧棱1B B 上,且22A E =,2BF =.(I ) 求证:1C F C E ⊥;(II ) 求二面角1E C F C --的大小。

9.(本题满分12分)如图3,在圆锥PO 中,已知2,PO O =的直径2,,AB C AB D AC =∠点在上,且CAB=30为的中点.(I )证明:;AC POD ⊥平面(II )求直线和平面PAC 所成角的正弦值.10.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为正方形,QA ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =12PD . (I )证明:PQ ⊥平面DCQ ;(II )求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值.56(本小题满分13分)本题考查空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.(I )证明:设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以 OB ∥DE 21,OG=OD=2,同理,设G'是线段DA 与FC 延长线的交点,有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上,所以G 与G '重合.在△GED 和△GFD 中,由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21,可知B 和C 分别是GE 和GF的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF. (II )解:由OB=1,OE=2,23,60=︒=∠EOB S EOB 知,而△OED 是边长为2的正三角形,故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OEFD S S S过点F 作FQ ⊥DG ,交DG 于点Q ,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F —OBED 的高,且FQ=3,所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 7(共14分)证明:(Ⅰ)因为D ,E 分别为AP ,AC 的中点,所以DE//PC 。

= = = =又因为DE ⊄平面BCP , 所以DE//平面BCP 。

(Ⅱ)因为D ,E ,F ,G 分别为 AP ,AC ,BC ,PB 的中点, 所以DE//PC//FG ,DG//AB//EF 。

所以四边形DEFG 为平行四边形, 又因为PC ⊥AB , 所以DE ⊥DG ,所以四边形DEFG 为矩形。

(Ⅲ)存在点Q 满足条件,理由如下: 连接DF ,EG ,设Q 为EG 的中点由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q ,且QD=QE=QF=QG=21EG. 分别取PC ,AB 的中点M ,N ,连接ME ,EN ,NG ,MG ,MN 。

与(Ⅱ)同理,可证四边形MENG 为矩形,其对角线点为EG 的中点Q , 且QM=QN=21EG , 所以Q 为满足条件的点.8.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,几何体的体积等基础知识;考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力;考查数形结合思想,化归与转化思想,满分12分(I )证明:因为PA ⊥平面ABCD ,CE ⊂平面ABCD ,所以.PA CE ⊥因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以 又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD 。

(II )由(I )可知CE AD ⊥,在Rt ECD ∆中,DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒= 又因为1,//AB CE AB CE ==, 所以四边形ABCE 为矩形,所以1151211.222ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆=+=⋅+⋅=⨯+⨯⨯=矩形四边形 又PA ⊥平面ABCD ,PA=1, 所以11551.3326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四边形 18.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法,同时考查空间想象能力和推理论证能力。

(满分12分) 解法1:(Ⅰ)由已知可得221132,2(22)23CC CE C F ===+=222221(),2(2)6EF AB AE BF EF C E =+-==+=于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+=所以11,C E EF C E CE ⊥⊥又1,.EF CE E C E CEF ⋂=⊥所以平面由1,.CF CEF CF C E ⊂⊥平面故(Ⅱ)在CEF ∆中,由(Ⅰ)可得6,23EF CF CE ===于是有EF 2+CF 2=CE 2,所以.CF EF ⊥又由(Ⅰ)知CF ⊥C 1E ,且1EF C E E ⋂=,所以CF ⊥平面C 1EF , 又1C F ⊂平面C 1EF ,故CF ⊥C 1F 。

于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角。

由(Ⅰ)知1C EF ∆是等腰直角三角形,所以145BFC ∠=︒,即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒。

解法2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,1,2)A B C C E F(Ⅰ)1(0,2,2),(3,1,2)C E CF =--=- 10220C E CF ⋅=+-=1.CF C E ∴⊥(Ⅱ)(0,2,22)CE =-,设平面CEF 的一个法向量为(,,)m x y z =由0,,,0,m CE m CE m CF m CF ⎧⋅=⎪⊥⊥⎨⋅=⎪⎩得即2220,(0,2,1)320y z m x y z ⎧-+=⎪=⎨-+=⎪⎩可取设侧面BC 1的一个法向量为1,,,(3,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-由及)0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取设二面角E —CF —C 1的大小为θ,于是由θ为锐角可得||62cos ||||232m n m n θ⋅===⋅⨯,所以45θ=︒ 即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒。

(湖南卷) 19.(本题满分12分)解析:(I )因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD. 又,,.PO O AC O AC OD ⊥⊂⊥底面底面所以PO 是平面POD 内的两条相交直线,所以;AC POD ⊥平面(II )由(I )知,,AC POD ⊥平面又,AC PAC ⊂平面所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中,过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结CH ,则CH 是OC PAC 在平面上的射影,所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角.在221222,3124Rt POD OH PO OD ⨯===++中 在2,sin OH Rt OHC OCH OC ∠==中 (江西卷)解:(1)设x PA =,则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f 则232)(2x x f -='x)332,0( 332 ),332(+∞ )(x f '+-)(x f单调递增极大值单调递减由上表易知:当332==x PA 时,有PBCD A V -'取最大值。

证明:(2)作B A '得中点F ,连接EF 、FP由已知得:FP ED PD BC EF ////21//⇒ PB A '∆为等腰直角三角形,PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.。

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