椭球面面积的近似计算
专题摘要：利用曲面面积计算公式和函数幂级数展开的麦克劳林公式，给出椭球面表面积的近似计算公式。

我们知道半径为R 的球的表面积为2
4R π，但椭球的表面积如果通过曲面面积计算公式来计算，其积分为第二类椭圆积分，不能通过重积分方法计算出表面积值。

下面给出近似计算公式。

设椭球面方程为
a b c c
z b y a x ≤≤=++,122
2222， （1） 由对称性我们只需求出第一卦限部分的表面积再乘8即可。

由曲面面积计算公式[40]。

dxdy y
z x z S D
⎰⎰∂∂+∂∂+=2
2)()(
1， （2） 其中}1:),{(2222≤+=b y a x y x D ，22
221b
y a x c z --=。

于是
222221b y a x x a c x z ---
=∂∂， 2
22221b
y a x y b c
y z ---=∂∂ 所以
2
2222
4224222222211)()(1b
y
a x y
b c x a c b y a x y z x z --++--=∂∂+∂∂+， 设2
0,10,sin ,cos π
θθθ≤≤≤≤==r rb y ra x ，则上述广义极坐标变换的Jacobi 行列
式为abr J =
2
22222
2
2
221)sin cos (1)()(1r
b a r
c r y z x z -++-=∂∂+∂∂+θ
θ 2
22221)
cos 1()(1r e r b c
r --+-=θ， 其中22
1a
b e -=。

从而
θθπabrdrd e b
c
r r S ⎰⎰
--+-=102
2222
]1)cos 1()[(1118， （3）
由于有幂级数展式
]1,1[6
4231421211132-∈-⋅⋅⋅+⋅-+
=+x x x x x ， 所以当x 很小时有
x x 2
1
11+
≈+， （4） 因为,10≤≤e 所以)2
0(1cos 02
π
θθ≤
≤≤≤e ，因此
1]1)cos 1()[(1222≤--≤-θe b
c
r
根据（4）式有
]1)cos 1()[(211]1)cos 1()[(1222222--+≈--+θθe b
c
r e b c r ，（4）
所以
θθπdrd e b
c r r r ab S ]}1)cos 1()[(211{18102
22
22
--+
-≈⎰⎰
⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+-=2
022
10232]1)cos 1()[(21118π
θθd dr e b c r r r r ab
⎰--+=2
22]}1)cos 1()[(311{8π
θθd e b c
ab
⎰--+=2
222]2cos )(61)(61)(3132[8πθθd e b c
e b c b c ab
)]1
1(1231[8222b
a c a
b ++=π。

不难看出，当c b a ==时，π2
4a S =，即为球的表面积。

此方法也适用于求椭圆周长的近似值。