例1
H 1 : 1 , 2 , 3不全相等.
检验假设
H 0 : 1 2 3 , H 1 : 1 , 2 , 3不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知. 问 题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.
解决方法——方差分析法,一种统计方法.
2 SA /( r 1) 在检验水平 下， 由p F 2 k 得 S E /( n r ) k F1 ( r 1, n r )
H0的拒绝域为 :
2 SA /( r 1) F1 ( r 1, n r ) F 2 S E /( n r )
自由度 2
12 14
均
方
F
比
素A 0.00105333
0.00052667 32.92
0.000016
随机误差 0.000192 总 和 0.00124533
F 32.92 F0.05 ( 2,12) 3.89.在水平0.05下拒绝 H 0 . 各机器生产的薄板厚度有显著差异.
在MATLAB中的求解 函数:anova1 格式:p=anova1(x) 说明:对样本X中的多列数据进行单因素方差分析, 比较各列的均值,返回“零假设”成立的概率值,如果 概率值接近于零,则零假设值得怀疑,表明各列的均 值事实上是不同的. 源程序: x=[0.236,0.238,0.248,0.245,0.243; 0.257,0.253,0.255,0.254,0.261; 0.258,0.264,0.259,0.267,0.262]; p=anova1(x’) 助 程序运行结果 方差分析表 Box 图检验 帮
1. 各水平效应 i 的点估计
Yi .是i的无偏估计量 ， Y是的无偏估计量
ˆ i Yi . Y 是 i i 的无偏估计
2. 各水平下均值 i 的区间估计
Yi . i ~ N (0,1) /2 ni T S E ~ 2 (n r ) 2 Yi . i / ni S Yi . i S ni ( n r )
单因素试验方差分析的数学模型 需要解决的问题 1.检验假设
H 0 : 1 2 s , H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
2
2.估计未知参数1 , 2 ,, s , .
数学模型的等价形式
1 记n ni , ni i n i 1 i 1
Y21
Y22
Y2 s
Ar

Yr1
Y.1

Yr 2

Yrs
Y.s
Y.2
假设
Yij～N ( ij , 2 ), i 1,, r; j 1,, s
各Yij 独立, ij , 2均为未知参数 .
Yij ij eij , 2 eij～N (0, ), 各eij独立, i 1,2,, r , j 1,2,, s,
水 平Ai的 效 应, 表 示 水 平 Ai 下 的 总 体 平均值与总 平均的差异 .
r r
总平均
i i , j 1,2,, r
n1 1 n2 2 nr r 0
原数学模型：
Yij i e ij , (i 1, r ; j 1, ni ) 2 e ～ N ( 0 , ) , 各 e ij 独立 ij

y2n2

...yini ...
... yi . ...

yrn r
样本均值
样本容量 总体分布
y1.
n1
y2.
n2
yr .
nr
...ni ...
...i ...
r
1
2
2
r
其 中Yi ~ N ( i , ), n ni
i 1
假设
1.各 个 水 平 Ai ( i 1,2,, r )下 的 样 本 来 自 具 有 相 方 同 差 2 , 均 值 分别为 i ( i 1,, r )的 正 态 总 体 Yi ~ N ( i , 2 ), i 与 2均 未 知 ;
统计分析：
若因素的各水平对试验结果没有显著性影响， 则选择成本较低的那一种水平来实施方案； 若因素的各水平对试验结果有显著影响，则一 般选取最大或最小的那一种水平来实施方案。 1. 求出各水平效应 i i 的估计值，并进行 比较，选出最优的实施方案。
2. 估计各水平下总体的均值 i的范围。
2 E

2 E 2
~ t (n r )
/( n r )
在置信度为 1 - 下
i的 置 信 区 间 为 :
2 SE Yi . t1 / 2 ( n r ) ni ( n r )
§5.2
双因素方差分析
一、无交互作用的双因素方差分析 二、有交互作用的双因素方差分析
不同因素的不同水平的搭配有可能
§5.1
单因素方差分析
例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示. 表5.1 铝合金板的厚度 机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 试验指标: 薄板的厚度 因素: 机器
等价于 检验假设
H 0 : 1 2 r 0, H 1 : 1 , 2 ,, r 不全为零.
方差分析法：平方和分解式
1 Y Yij — 数据的总平均值 n i 1 i 1
1 Yi . ni
r ni
Y
j 1
ni
ij
— 水平Ai 下第i组的样本平均值
第五章 方差分析
回归分析: -------研究变量之间是否存在相关关系
方差分析: ------研究变量对变量是否有显著性影响
在实际中,方差分析就是对数据进行分析 处理,分清各种实验条件及状态对结果的影响, 以便指导生产实践.
机器设备 原料成分 原料剂量
反应时间
化工产品的 数量和质量
溶液浓度
操作水平
ห้องสมุดไป่ตู้
ni Y nY
i 1 2 i.
r
2
——是由于因素的各水平不同效应而引起的
S S S
2 T 2 E
2 A
检验统计量:
若
2 SA 2 SE
2 S A 比较大,表明在整个误差中 占主要部分,
因此可认为因素的各水平对试验结果的影响显著,从
H0 而拒绝
H0 ,因此
的拒绝域形式为
2 SA 2 k SE
单因素试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 因 素A
S
2 A
F
比
r 1
2 SA SA r 1
2 SE SE nr
F S A SE
随机误差 总 和
S
2 E
nr
n 1
2 ST
例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示. 表5.1 铝合金板的厚度 机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 取 0.05, 检验假设
2 ST 2 ~ ( n 1) 2 2 2 SA /( r 1) SE 2 在H 0 成 立 时 , 2 ~ (n r ) F 2 ~ F ( r 1, n r ) S E /( n r ) 2 S A ~ 2 ( r 1) 2
反应温度
压
力
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
试验指标——试验中要考察的指标. 因 素——影响试验指标的条件. 因 素 水 可控因素 不可控因素
平——因素所处的状态.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
2.不同水平 Ai 下的样本之间相互独立 .
且Yij～N (i , 2 ),(i 1,, r; j 1,, ni )
记Yij i eij , 表示随机误差 , 且eij ~ N (0, 2 )
Yij i e ij , (i 1, r ; j 1, ni ) 2 e ～ N ( 0 , ) , 各 e ij 独立 ij
记号
1 r s ij rs i 1 j 1
总平均
1 r j ij , j 1,, s r i 1
1 s i ij , i 1,, r s j 1
数学模型
设因素 A有r个水平 A1 , A2 ,, Ar , 在水平 Ai ( i 1.. p)进行 ni 次独立试验 ， 得到如下结果：
观察结果 水平
A1
y11
y12
表 5.2 A2
y 21
...Ai ...
... yi1 ...
Ar
yr1
yr 2
y 22
... yi 2 ...

y1n1
2 e ～ N ( 0 , ) , 各 e 独立 , ij ij 改写为： i 1, 2, , r ; j 1,2 n j r n i i 0. i 1
Yij i e ij ,
原检验假设
H 0 : 1 2 r , H 1 : 1 , 2 ,, r 不全相等.