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东南大学高等数学实验三 泰勒公式与函数逼近
2012-5-7
实验三
泰勒公式与函数逼近
0 2 大 示 间 围以 察 偏 展 点 泰 多 ) ( 扩 显 区 范 ,观 在 离 开x 时 勒
项对数逼情。 式函的近况
−, ] 显然, 我们只要把上一个程序中的绘图命令中的 x 范围由 [ π π 显然,
− π π 并相应增加阶数。故输入如下命令: 分别改到 [ 2 ,2 ],并相应增加阶数。故输入如下命令:
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In[3]:=
n = 5; While n £ 10, . x ® 1, 17 ; a = N Normal Series Exp x , x, 0, n Print n, " ", a, " ", N Exp 1 , 17 , " ", Exp 1 - a ; n += 1
@ @ @@8 < D @ D@ D @D @ @ DD D D
实验三
泰勒公式与函数逼近
东南大学 数学系
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实验三
泰勒公式与函数逼近
) 0的邻域内足够光滑, 一个函数 f(x 若在点 x 的邻域内足够光滑,则在该邻域
内有泰勒公式
f ( x ) = f ( x0 ) + ∑
n k =1
f ( k ) ( x0 ) ( x − x 0 ) k + o( | x − x 0 |n ) k!
多项式; ( 0 为余项。 为余项。 勒多项式; o | x−x |n)
)的各阶泰勒多项式, 下面我们利用 Mathematica 计算函数 f(x 的各阶泰勒多项式,并
通过绘制曲线图形,来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 通过绘制曲线图形,来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。
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实验三
泰勒公式与函数逼近
0对函数逼近的影响。 (3)固定 n=6 观察 x 对函数逼近的影响。 ,
i 的泰勒多项式, 在下面的语句中, 在下面的语句中, 为了方便调用 snx的泰勒多项式, 首先定 i 义了 snx的泰勒展开函数 tt, , 然后用不同的颜色在同一坐标
, 0 , 0 i i 系中画出了 snx及 snx的分别在 x =0 x =3 x =6处的 6 阶 0
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实验三
In[8]:=
For i = 1, i £ 11, a = Normal Series Sin x , x, 0, i Plot a, Sin x , x, - Pi, Pi , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 0 i = i+ 2
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泰勒公式与函数逼近
泰勒公式的格式为: 泰勒公式的格式为: Series[expr,{x,x0,n}](表示在 x0 点求,阶数为 n), ( ),
求函数的泰勒多项式格式为: 求函数的泰勒多项式格式为: Normal[Series[expr,{x,x0,n}]]
注意:对泰勒多项式作图时可使用“ 注意:对泰勒多项式作图时可使用“Evaluate”命令把它转化为 ” 可运算的。 可运算的。
n
f(k)(x ) k 0 ) (x−x ) , − 0 很小时, 其中, 当 | x−x |很小时, f(x ≈f(x )+∑ 有 其中, 0 0 k ! k1 =
f(k)(x ) T x = f(x )+ ( ) ∑ k 0 (x−x )k 称为 0 0 ! k1 =
n
f(x 在点 x 处的 n 阶泰 ) 0
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泰勒公式与函数逼近
出果: 输结为
5 2.7166666666666667 2.7182818284590452 0.0016151617923786 6 2.7180555555555556 2.7182818284590452 0.0002262729034897 7 2.7182539682539683 2.7182818284590452 0.0000278602050770 8 2.7182787698412698 2.7182818284590452 3.0586177754 ´ 10-6 9 2.7182815255731922 2.7182818284590452 3.028858530 ´ 10-7 10 2.7182818011463845 2.7182818284590452 2.73126608 ´ 10-8
.0, = 即可。 n 即可。 得,欲使 | R |<00 5 只要取 n 5
面 M e ai a 句 用 数 下 的 ahmtc 语 利 函 e 的 阶 勒 项 来 t 5 泰多式 d e 0的 , 判 误 : 近计 似算 值并断差
In[1]:=
x
d0 = -1; While d0 £ 1, a = N Normal Series Exp x , x, 0, 5 . x ® d0; Print d0, " ", a, " ", N Exp d0 , " N Exp d0 - a ; d0 += 0.4
3 2 1
Out[7]=
-3
-2
-1 -1 -2 -3
1
2
3
为了使图形比较更加生动,下面作出 i 为了使图形比较更加生动,下面作出 snx和它的某一阶泰勒多 项式的同一坐标系下的比较图, 项式的同一坐标系下的比较图,并且在图中红色曲线表示函数
f(x = i x的图形, ) sn 的图形, 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。 命令如下: 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。 命令如下:
@ @8 @ @@8 < D D @ 8 @< @ D 8D D < < D D
泰勒公式与函数逼近
; ;
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运行后得到了六幅图, 运行后得到了六幅图,从图中可以观察到泰勒多项式与函数
− , ]范围内, 图形的重合与分离情况, 显然在 [ π π 范围内, 图形的重合与分离情况, 第五幅图中两
个函数的图形已经基本上吻合了,也就是说, i x 个函数的图形已经基本上吻合了,也就是说, sn 的 9 次多 项式与函数几乎无差别。 项式与函数几乎无差别。
@ @ @@8 < @ D @@ D D @DD D D @@
",
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实验三
输出结果为: 输出结果为:
-1 - 0.6 - 0.2
泰勒公式与函数逼近
0.366667 0.548752 0.818731 1.2214 1.82205 2.71667
0.367879 0.548812 0.818731 1.2214 1.82212 2.71828
In[9]:=
For i = 7, i £ 17, a = Normal Series Sin x , x, 0, i Plot a, Sin x , x, - 2 Pi, 2 Pi , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 0 i = i+ 2
@ @8 @<@8 < @D D @ 8 @D @D 8D < < D D
; ;
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i 运行上面程序, 绘出了从 7 阶直至 17 阶的泰勒多项式与 snx 运行上面程序,
2 π 范围内, i 的比较图,观察图表可得, 的比较图,观察图表可得,在区间 [−π,2 ]范围内, snx的
17 次多项式与函数吻合得很好了。 次多项式与函数吻合得很好了。
) sn ( =, , , , ) 1 同一坐标系内显示函数 f(x = i x及它的 nn 135⋯3
阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下: 阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下:
In[5]:=
t = Table Normal Series Sin x , x, 0, i PrependTo t, Sin x ; Plot Evaluate t , x, - Pi, Pi
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x 对误差的影响) 例 2 (观察阶数 n 对误差的影响)利用函数 e 的 n 阶
的值,并求误差。( 。(n=5,6,7,8,9,10) 多项式计算 e 的值,并求误差。( )
: 此 输 M e ai a 言 下 解 为 , 入 ahmtc 语 如 : t
结中知阶越,差小 从果可,数高误越。
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) sn 根据图形观察泰勒展开的误差) 例 3(根据图形观察泰勒展开的误差)观察 f(x = i x的各
阶泰勒展开的图形。 阶泰勒展开的图形。
的影响。 解:(1)固定 x =0,观察阶数 n 的影响。 0
) sn 处的偶数阶导数为零,所以首先在 因为 f(x = i x在 x =0处的偶数阶导数为零,所以首先在 0
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泰勒公式与函数逼近
x e。 泰勒公式的误差) 例 1 (泰勒公式的误差)利用泰勒多项式近似计算
1 .0 若 | x|< ,要求误差 | R |<00 5。 n x
解: 我们根据拉格朗日余项
| R |= n |
e e 3 n1 + x+ | | x|n 1< < ( +) n 1! ( +) n 1! ( +) 可 n 1!
@ @ @@8 <8 < D D D @@D < @ D @ D 8
, i, 1, 13, 2 ;
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