高中物理竞赛讲义——微积分初步一：引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。

分析：①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ；②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式U=K Q r及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为 U=CKQ a=Ck ρa 2 ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3③ 大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2 4 大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa 2 ；即U 0=12U 1 【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。

如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

二：导数㈠ 物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上的微积分。

我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a=△v △t . 下面我们从代数上考察物理量的变化率： 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速度的表达式。

（所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v=△s△t 一般是求△t 时间内的平均速度，当△t 取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。

s(t)=3t+2t 2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t 2=3△t+4t △t+2△t 2v=△s △t =3△t+4t △t+2△t 2△t=3+4t+2△t 当△t 取很小，小到跟3+4t 相比忽略不计时，v=3+4t 即为t 时刻的瞬时速度。

【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t 3,求感应电动势随时间t 的函数关系。

【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z 的步骤：①写出t 时刻y 0=f(t)的函数表达式；②写出t+△t 时刻y 1=f(t+△t)的函数表达式；③求出△y=y 1- y 0=f(t+△t)- f(t)；④求出z=△y△t =f(t+△t)- f(t)△t； ⑤注意△t 取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡ 无穷小当△t 取很小时，可以用V=△s△t 求瞬时速度，也可用i=△Q △t 求瞬时电流,用ε=N △φ△t求瞬时感应电动势。

下面，我们来理解△t ：△t 是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t 大，即：ε>△t 。

或者从动态的角度来看，给定一段时间t ，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=t 2； 第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=t 3； 第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=t 4； …………第N 次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=t N+1； …………一直这样进行下去，我们知道，△t 越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t →0。

或者，用数学形式表示为 0lim t ∆→△t=0。

其中“0lim t ∆→”表示极限，意思是△t 的极限值为0。

常规计算：①0lim t ∆→（△t+C ）=C ②0lim t ∆→C ·△t=0 ③0lim t ∆→f(△t)=f(0) ④0lim t ∆→ f(t+△t)=f(t) ⑤0lim t ∆→sin(△t)△t = 1『附录』常用等价无穷小关系（0x →）①sin x x = ；②tan x x = ；③211cos 2x x -= ；④()ln 1x x += ；⑤1x e x -= ㈢ 导数前面我们用了极限“0lim t ∆→”的表示方法，那么物理量y 的变化率的瞬时值z 可以写成: z=0lim t ∆→△y△t ,并简记为z=dy d t,称为物理量y 函数对时间变量t 的导数。

物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=dx d t 、a=dv d t 、i=dq d t 、ε=N d Фd t 等，甚至不限于对时间求导，如F=dW F d x 、E x =dU d x 、ρ=dm dl等。

这个dt （也可以是dx 、dv 、dm 等）其实相当于微元法中的时间微元△t ，当然每次这样用0lim t ∆→来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。

如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。

同学们可以课后推导以下公式：⑴ 导数的四则运算①d(u ±v)d t =du d t ± dv d t ③d(u v )d t = du d t ·v - u ·dv d t u v v 2 ②d(u ·v)d t =du d t ·v + u ·dv d t u v⑵ 常见函数的导数①dC dt =0(C 为常数)； ④dcost dt=-sint ； ②dt n dt =nt n-1 (n 为实数)； ⑤de t dt=e t ； ③dsint dt=cost ； ⑶ 复合函数的导数在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。

d u(v(t))d t =d u(v(t))d v(t) ·d v(t)d t复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为链式法则。

【练】1、某弹簧振子在X 轴上做直线运动，其位移x 与时间t 的关系为x=Asin ωt ，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A （A 称为振幅），周期为2πω （ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。

请完成以下几问： ①求出t 时刻的速度v②写出合力F 与位移x 的关系③验证简谐运动中质点的机械能守恒。

【练】2、某矩形线框面积为S ，匝数为N 为B 的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ 轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t 通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε(计算完后自行与《阳光课堂》P40【点拨】部分对照) 三：微分和积分㈠ 简单问题【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。

某电容为C 的电容器，其已充电的电量为Q 0，若让该电容与另一个阻值为R 的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。

试讨论，放电时流过电阻R 的电流随时间t 的变化关系如何？分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R 的电量为q 时，电容器的电量从Q 0变成Q 1，满足Q 0=Q 1+q ，即q=Q 0-Q 1 ；②流过电阻R 的电流i 与通过电阻R 的电量q 满足关系式：i=dq d t③根据电容电量公式Q=CU,有Q 1=CU=CRi ，那么q= Q 0- CRi ；④联立上式，有i=dq d t =d(Q 0- CRi)d t = - CR di d t⑤进行公式变形，令x= - t CR ,则有i= - CR di d t = di d x同学们思考一下，i 应该是什么函数，才能满足i= di d x？，或者说什么函数的导数等于函数本身？我们观察到，只有y=C e x 形式的函数才满足i= di d x关系，C 为待定常数。

故可以知道，i = C e x = C e -t/CR当t=0 时，U 0= Q 0C ， i 0= U 0R = Q 0C R ；而把t=0 代人，得i = C e -t/CR =C ；故C=Q 0C R所以，流过电阻R 的电流随时间t 的变化关系为：i = Q 0C Re -t/CR 【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q 随时间t 的变化关系如何？㈡微分1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。

2、对于i= - CR di d t 或i= di d x，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件。

3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。

下面我们用微元法的方式来处理这个问题。

在△t 的时间内，通过电阻R 的电量为△q 。

虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t 内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q= i △t 。

对电容有Q=CU=CiR ，△Q=ＣＲ△i ；由电量守恒，△Q= －△q ，故－i △t ＝ＣＲ△i ，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d ”形式，就有－idt ＝ＣＲdi （dt 和di 称之为微分）,数学变形为i= - CR di dt，即以上解法中的微分方程。

微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t 的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dF ，它与时间微分dt 满足关系式：dF=dF dt dt ，其中dF dt为F 对t 的导数。

下面是常见的微分公式与微分运算法则：①()0d c = ②()1n n d x nx dx -= ③()sin cos d x xdx =④()cos sin d x xdx =- ⑤()x x d e e dx = ⑥()d u v du dv ±=±⑦()d cu cdu = ⑧()d uv vdu udv =+ ⑨2u vdu udv d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭㈢积分在上例问题中，在△t 的时间内，通过电阻R 的电量为△q= i △t ，△q 称为电量微元。

如果我们把0到t 时间内的△q 加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i △t 。

由于t=N △t,当△t 取无穷小时，那么i △t 就有N →∞个，也就是，我们要把无穷个i △t 进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号idt ⎰表示q=0lim t ∆→∑i △t=idt ⎰，称为对i 在时间上求积分。