高等数学(一) 模拟试卷第一套1. 设函授f =)(x ⎪⎩⎪⎨⎧+a x x ,)1ln( ,则x=0处连续，则a 等于 （ ） A ． 0 B .21C. 1D. 22. 设y=sin 2x,则y '等于（ ）.A. –cos 2xB. cos 2xC. –2cos 2xD. 2cos 2x 3.过曲线y=xln x 上0M 点的切线平行与直线y=2x,则切点0M 的坐标是（ ）A.（1，0）B.（e,0）C.（e,1）D.（e,e ）4. 设 f(x)为连续函数，则'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰xa dt t f )(等于（ ） A. f(t) B. f(t)- f(a) C. f(x)D. f(x)- f(a)5. 若0x 为f(x)的极值点，则（ ）A.)(0x f '必定存在，且)(0x f '=0B. )(0x f '必定存在，且)(0x f '不一定等于零C. )(0x f '不存在，或)(0x f '=0D. )(0x f '必定不存在 6.⎰dx x 2sin1等于（ ）A. c x +-sin 1 B. c x +sin 1C. c x +-cotD. c x +cot选择题：1-10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项市符合题目要求的。

x ≠0 x =07.平面22:0132:21==+=++-y x z y x ππ的位置关系为（ ）A.垂直B.斜交C.平行D. 重合8.设z=tan(xy),则xz ∂∂等于（ ）A.)(cos 2xy y - B. )(cos 2xy y C.2)(1xy y - D.2)(1xy y +9．级数()∑∞=-121n nnk （k 为非零正常数）（ ）A.绝对收剑B. 条件收剑C. 发散D. 收剑性与k 有关10． 微分方程0=+'y y 的通解为（ ）A ． y=x e B. y= x e - C. y=C x e D. y=C x e -11．求=→∞xx x 3sin lim.12． =--→11lim21x x x .13．设y=xex+1,则y '= .14. 设f(x)=,2x 则)(x f '' . 15.⎰=+2121dx xx .16.设z=y y xy x -++2223，则xz ∂∂= .17.设⎰+=,)()(C x F dx x ⎰=dx x x f cos)(sin .18.幂级数∑∞=in nx n ! 的收敛半径为 .二、填空题：11-20小题，每小题4分，共40分。

19.微分方程09=+'y y 的通解为 . 20.曲线x x y 63-=的拐点坐标为 .21.（本题满分8分） 计算 ⎰dx x ln1.22.(本题满分8分)设 ⎩⎨⎧+==232sin tt y t a x 求dx dy23．（本题满分8分）设232yx xy z +=，求yx z ∂∂∂2.三、解答题：21-28小题，共70分，解答时应写出推理、演算步骤.24． （本题满分8分）求082=-'-''y y y 的通解.25.（本题满分8分）将xx f -=31)( 展开为x 的幂级数26.（本题满分10分）设 )(lim 3)(23x f x x x f x →+=，且)(lim 2x f x →存在，求f(x).27.(本题满分10分)求曲线12+=x y 在点（1，2）处的切线方程，并求该曲线与所求切线及x=0所围成的平面图行的面积.28.（本题满分10分）设区域D 为,0,422≥≤+y y x 计算⎰⎰+Ddxdy yx .22参考答案与详解一、选择题：每小题4分，共40分 1．C【解析】本题考查的知识点为函数连续性的概念.由函数边连续性的定义可知, 若)(x f 在0=x 处连续，则有)0()(lim 2f x f x =→，由题设 1lim)|1ln(lim)(lim 0==+=→→→xx x x x f ox x x可知应有a=1,故应选C. 2.D【解析】本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则.,2sin x y ==则 .2cos 2)2()2cos(x x x y ='⋅=' 可知应选D 3.D【解析】本题考查的知识点为导数的几何意义.由导数的几何意义可知，若)(x f y =在点0x 处可导，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处必定存在切线，且切线的斜率为)(0x f y '由于,ln x x y =可知x y ln 1+='，切线与已知直线x y 2=平行，直线的斜率21=k ，可知切线的斜率21==k k 从而有,2ln 10=+x可解得,0e x =从而知e e e x x y ===ln ln 000故切点0M 的坐标为（e.e ）,可知应选D.4.C【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质.这是一个基本性质：若)(x f 为连续函数，则⎰xadt t f )(必定可导，且)())((x f dt t f xa='⎰.本题常见的错误是选D,这是由于考生将积分的性质)())((x f dt t f xa='⎰与牛顿-莱布尼茨公式)()()(a F x F dx x f ba-=⎰混在了一起而引起的错误。

5.C【解析】本题考查的知识点为函数极值点的性质. 若0x 为函数)(x f y =的极值点，则可能出现两种情形：（1）)(x f 在点0x 处不可导，如x y =在点0x =0 处)(x f 不可导，但是点0x =0为x x f =)(的极值点.(2))(x f 在点0x 可导，则由极值的必要条件可知，必定有0)(='x f本题常见的错误是选A ，其原因是考生将极值的必要条件：“若)(x f 在点0x 可导，且0x 为)(x f 的极值点，则必有0)(0''='x f 认为是极值的充分必要条件. 6.D【解析】本题考查的知识点为不定积分基本公式. 由于⎰+-=C c dx xcot sin12可知应选D7．A【解析】本题考查的知识点为两平面的关系.两平面的关系可由两平面的法向量21,n n 间的关系确定. 若21n n ⊥，则两平面必定垂直. 若21//n n ，21212121D D C C B B A A ≠==时，两平面平行.当21212121D D C C B B A A ===时，两平面重合.若1n 与2n 即不垂直，也不平行，则两平面斜交.由于,0),0,1,2(),3,2,1(2121=⋅=-=n n n n 可知21n n ⊥，因此21ππ⊥，应选A. 8．B【解析】本题考查的知识点为偏异数运算. 由于),tan(xy z =因此,)(cos )((cos 122xy yxy xy xz x ='⋅=∂∂） 可知应选A 9．A【解析】本题考查的知识点为无穷级数的收剑性.由于∑∑∑∞=∞=∞==-=1222111,,)1(n n n nn n nnk u nk u 是p=2的p 级数从而211nn ∑∞=收剑21nk n ∑∞=，收剑，可知所给级数绝对收剑.10．D【解析】本题考查的知识点为一阶微分方程的求解.可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解.解法一 将方程认作可分离变量方程. 分离变量,dx ydy -=两端分别积分 ,ln ,C x y dx ydy+-=-=⎰ 或Y=xCe-解法二 将方程认作一阶段性微分方程.由通解公式可得.0)()()(x dx dx dx x p dx x p Ce C dx e e C dx e x q e y ---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰⎰ 解法三 认作二阶段常系数线性齐次微分方程特例求解： 特征方程为 ,01=+r 特征根为 ,1-=r , 方程通解为,xCey -=二、填空题：每空4分，共40分.11．0【解析】本题考查的知识点为无穷小的性质. 对于xx x 3s in lim∞-，其期限过程为∞→x ，可知所给极限不能利用重要极限公式!1sinlim=∞-这是考生经常犯错误的题目.当∞→x 时，x 3sin 不存在极限，由于当∞→x 时，x1为无穷小，且x 3sin 为有界变量，由于“有界变量与无穷小之积仍为无穷小”，0)3sin 1(lim 3sin lim8=⋅=→∞-x xxx x x12． 2【解析】本题考查的知识点为极限的运算由于分子的极限0)1(lim 3=-∞-x 分母的极限0)1(lim =-∞-x ，因此所给极限不能利用极限的商的运算法则来求解，2)1(lim 1)1)(1(lim11lim1121=+=-+-=---→→x x x x x x x x x .或利用洛必达法则可得212lim11lim121==---→x x x x x13．22)1(x xe+【解析】本题考查的知识点为函数商的求异运算 考生只需熟记导数运算的法则2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫⎝⎛ 可知 ()2)1()1()1(1x x e x e x e y xx x +'+-+'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=' 22)1(x xe+=本题中有些考生还不会运用求异法则，误以为,)(v u uv ''=' v u v u ''='⎪⎭⎫⎝⎛ 因此出现()xxxex e y xey ='+'='+=)1(1， 的错误.这是由于考生没掌握基本知识才出现的错误.14．2【解析】本题考查的知识点为二阶导数的运算.(),2)(2x xx f ='=' (),22)(='=''xx f15．,25ln21【解析】本题考查的知识点为定积分的换算法. 由于被积函数21xx +分母为二次函数，分子为一次函数，本例有多种解法.解法一 利用凑微分，注意到)1(212122x d dxxdx +==，可得⎰⎰⎰++=+=+222122212211)1(2111211xx d dx xdx xx25ln 21)1ln(21212=+x解法二 令,12x t +=则,2xdx dt = 当x=1时，t=2;当x=2时，t=5⎰⎰=+dt t l dx xx 21.21,15222125ln 21ln 2152=t.有的考生填为,2ln 21这个错误的原因是引人变量,12x t +=则dt=2xdx,得到⎰⎰==+2121221ln 21211tdt tl dx xx.2ln 21=这里的错误在于进行定积分变量替换，积分区间没做变化. 16．2x+3y【解析】本题考查的知识点为偏导数的运算. 由于,2322y y xy x z -++=可得y x xz 32+=∂∂17． .)(sin C x F +【解析】 本题考查的知识点为不定积分的换元法. 由于,)()(C x F dx x +=⎰令,sin x u =则xdx du cos =⎰⎰=du u f xdx x f )(cos )(sinC u F +=)(C x F +=)(sin18．0【解析】本题考查的知识点为幂级数的收剑半径.所给幂级数为不缺项情形+∞=+=+=→∞→∞!)!1(lim1lim,!n n a a n a n nn n n因此收剑半径为0. 19． ,9xCey -=【解析】本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程. 分离变量,91dx dy y-=两端分别积分 ,91dx dy y-=⎰⎰xCey C x y 91,9ln -=+-=20．（0，0）【解析】本题考查的知识点为求曲线的拐点.依求曲线拐点的一般步骤，只需 （1）先求出y ''（2）令y ''=0得出,1x …k x .（3）判定在点,1x ,2x …k x ，两侧y ''的符号是否异号，若在k x 的两侧y ''异号，则点)(,(k k x f x 为曲线)(x f y =的拐点.,63x x y -= .6,632x y x y =''-='令y ''=0，得到x=0.当x=0时，y=0.当0<x 时，<''y 0；当0>x 时，.0>''y 因此点（0，0）为曲线x x y 63-=的拐点.本题出现较多的错误为：填x=0.这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚。