山东省德州市夏津县第二实验中学2019届九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．反比例函数y =2x 的图象位于平面直角坐标系的（ ） A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限2．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）在反比例函数ky x（k ＞0）的图象上，且x 1＝﹣x 2，则（ ） A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1＝﹣y 24．sin30°等于( )A ．3B ．12C ．2D ．25．△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则cosB 的值为( )A B C ．12D ．26．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连接AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使△ADC 与△BDA 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD7．如图，一次函数y1＝ax+b图象和反比例函数y2＝kx图象交于A(1，2)，B(﹣2，﹣1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是( )A．x＜﹣2 B．x＜﹣2或0＜x＜1C．x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞18．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的12得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）9．（3分）有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P 在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里．A．10√3B．10√2−10C．10 D．10√3−10 10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB ，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A ．2B C ．1 D ．211．如图，点A 的坐标是()2,0,ABO ∆是等边三角形，点B 在第一象限．若反比例函数ky x=的图象经过点B ，则k 的值是（ ）A ．1B ．2CD ．12．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A′O′B ．若反比例函数ky x=的图象恰好经过斜边A′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO=2，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8二、填空题13．反比例函数y ＝－3x，当y≤3时，x 的取值范围是_____________________． 14．如图，P （12，a ）在反比例函数60y x=图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为_____．15．如图，□ABCD 中，点E 是边BC 上一点，AE 交BD 于点F ，若BE=2，EC=3，则BFDF的值为_________16．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝45.下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或252；④0＜CE≤6.4.其中正确的结论是______________.(填序号) 三、解答题18．计算：1sin60cos60︒-︒－(sin30°)－2＋(2018－tan45°)0.19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y kx b=+的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（3-，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．20．如图①是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．(1)请说出这个几何体模型的最确切的名称是__ __；(2)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图(图中的粗实线表示的正方形(中间一条虚线)和三角形)，请在网格中画出该几何体的左视图；(3)在(2)的条件下，已知h＝20 cm，求该几何体的表面积．21．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P.(1)求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；(2)若AE＝2，试求AP·AF的值．22．为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，如图，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向，C岛在北偏东15°方向，航行100海里到达B 岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离．（结果保留到整≈1.41≈2.45）23．如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB＝∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝6，tan∠DCB＝23，求AE的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D 出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？参考答案1．A 【解析】试题分析：∵k=2＞0，∴反比例函数y =2x 的图象在第一，三象限内，故选A ． 考点：反比例函数的性质． 2．B 【分析】根据图形的三视图的知识，即可求得答案． 【详解】该实物图的主视图为：，故答案选B.考点：简单几何体的三视图． 3．D 【解析】 由题意得：1212k ky y x x ==-=- ，故选D. 4．B 【解析】分析：根据特殊角的三角函数值来解答本题．详解：sin30°=12． 故选B ．点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 5．A 【解析】 【详解】解：在直角△ABD 中，BD =2，AD =4，则AB ==，则cos B =BD AB ==． 故选A ．6．D 【详解】解：∵∠ADC=∠ADB ，∠ACD=∠DAB ， ∴△ADC ∽△BDA ，故A 选项正确； ∵AD=DE ， ∴AD DE = ， ∴∠DAE=∠B ，∴△ADC ∽△BDA ，∴故B 选项正确； ∵AD 2=BD•CD ， ∴AD ：BD=CD ：AD ，∴△ADC ∽△BDA ，故C 选项正确； ∵CD•AB=AC•BD ， ∴CD ：AC=BD ：AB ，但∠ACD=∠ABD 不是对应夹角，故D 选项错误， 故选：D ．考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定 7．B 【分析】根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，即可得解. 【详解】根据题意可得，12y y <，即一次函数图象位于反比例函数图象的下方， ∴2x <-或01x <<. 故选B. 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，难度较易，解此题的关键在于利用函数图形进行判断即可. 8．A 【解析】试题分析：∵线段AB 向左平移一个单位，∴A 点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C 的坐标为（4×12，6×12），即（2，3）．故选A ． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形变化-平移；3．几何变换． 9．D 【解析】由题意得：10AB+10=√33，解得：x =10√3−10 ，故选D.10．C 【分析】作MH ⊥AC 于H ，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH 为等腰直角三角形，所以，再根据角平分线性质得，则，于是利用正方形的性质得到+2，OC=12，所以，然后证明△CON ∽△CHM ，再利用相似比可计算出ON 的长． 【详解】试题分析：作MH ⊥AC 于H ，如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH=MH=2AM=2×， ∵CM 平分∠ACB ，∴，∴，∴（+2，∴OC=12+1，CH=AC ﹣， ∵BD ⊥AC ， ∴ON ∥MH ， ∴△CON ∽△CHM ，∴ON OCMH CH == ∴ON=1． 故选C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质． 11．C 【分析】首先过点B 作BC 垂直OA 于C ，根据AO=2，△ABO 是等边三角形，得出B 点坐标，进而求出反比例函数解析式． 【详解】过点B 作BC 垂直OA 于C ，∵点A 的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO 是等边三角形，∴OC=1，==∴点B 的坐标是（1，把（1k y x=，得．故选：C ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出B 点坐标是解题关键．12．C【详解】解：设点C 坐标为（x ，y ），作CD ⊥BO′交边BO′于点D ，∵tan ∠BAO=2， ∴2BO AO=， ∵S △ABO =12•AO•BO=4， ∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD=12A′O′=1，BD=12BO′=2，∴x=BO-CD=4-1=3，y=BD=2，∴k=x•y=3×2=6．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．13．x≤－1或x＞0【解析】【分析】利用反比例函数的性质,由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可.【详解】k=-3<0∴在每个象限内y随x的增大而增大,又当x=-1时,y=3∴当x≤－1或x＞0时,y≤3.故答案为: x≤－1或x＞0.【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟悉掌握是关键.14．5 12【解析】试题分析：∵P（12，a）在反比例函数60yx=图象上，∴a=6012=5，∵PH⊥x轴于H，∴PH=5，OH=12，∴tan ∠POH=512， 故答案为512． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用15．25【解析】 由题意得：BEFDAF ∆∆ ，则25BF BE DF AD == . 16．7【分析】根据几何体的三视图可进行求解．【详解】解：根据题意得：则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7（个）．故答案为7．【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．17．①、②、③、④．【解析】试题分析：①∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，又∵∠ADE=∠B ∴∠ADE=∠C ，∴△ADE ∽△ACD ；故①正确，②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=45，∴BC=2ABcosB=2×10×45=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC ，在△ABD 与△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ∠B ＝∠C AB ＝DC ∴△ABD ≌△DCE （ASA ）． 故②正确，③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC=∠AED ，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BD=CD ，∴∠ADE=∠B=α且cosα=45，AB=10，BD=8． 当∠CDE=90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=45．AB=10， ∴cosB=AB BD =45∴BD=252． 故③错误． ④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，设BD=y ，CE=x ，∴AB BD DC CE =∴1016y y x =- 整理得： 2y -16y+64=64-10x ， 即()28y -=64-10x ， ∴0＜x≤6.4． 故④正确． 考点：（1）、三角形全等；（2）、三角形相似.182【解析】【分析】原式利用特殊三角形的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂法则计算即可得结果.【详解】原式22=-212-⎛⎫ ⎪⎝⎭2 【点睛】本题主要考查特殊三角形的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂法则，熟悉掌握是关键. 19．（1）一次函数的解析式是y=x+1；反比例函数的解析式是6y x =；（2）OP 的长为 3或1【分析】 （1）可先把A 代入反比例函数解析式，求得m 的值，进而求得n 的值，把A ，B 两点分别代入一次函数解析式即可．（2）令x=0求出y 的值，确定出C 坐标，得到OC 的长，三角形ABP 面积由三角形ACP 面积与三角形BCP 面积之和求出，由已知的面积求出PC 的长，即可求出OP 的长．【详解】（1）∵反比例函数m y x=的图象经过点A （2，3）， ∴m=6．∴反比例函数的解析式是6y x=． 点A （－3，n ）在反比例函数6y x =的图象上， ∴n =－2．∴B （－3，－2）．∵一次函数y=kx+b 的图象经过A （2，3）、B （－3，－2）两点，∴2332k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得1,{ 1.k b == ∴ 一次函数的解析式是y=x+1（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C （0，1），OC=1，1123522ABP S PC PC =⨯+⨯= 解得：PC=2，所以，P （0，3）或（0，-1）．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．（1）直三棱柱；（2）图见解析；（3）S 表面积＝600＋ (cm 2)【解析】【详解】解：（1）这个几何体模型的最确切的名称是：直三棱柱；故答案为：直三棱柱；（2）如图所示：(3)由题意可得：a= (2221=222020=6002S ⨯⨯+⨯++表面积 21．(1)证明见解析；（2）12.【解析】【详解】解：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠C ＝∠CAB ＝60°，又∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CAF(SAS)，∴AF ＝BE ，∠ABE ＝∠CAF ，又∵∠APE ＝∠BPF ＝∠ABP ＋∠BAP ，∴∠APE ＝∠BAP ＋∠CAF ＝60°，∴∠APB ＝180°－∠APE ＝120°；(2)∵∠C ＝∠APE ＝60°，∠PAE ＝∠CAF ，∴△APE ∽△ACF ， ∴AE AP AF AC =，即26AP AF ， ∴AP·AF ＝12 22．193海里.【分析】过B 点作BD ⊥AC 于点D ，根据等腰直角三角形的性质求出BD ，根据正弦的定义计算即可．【详解】解：过B 点作BD ⊥AC 于点D ，由题意知∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=100海里，∠BAC=45°，∴△BAD 为等腰直角三角形，∴，∠ABD=45°，∴∠CBD=180°-30°-45°-45°=60°，∴∠C=30°，∴在Rt △BCD 中，≈141（海里），，∴≈193（海里），答：B ，C 两岛的距离约为141海里，A ，C 两岛的距离约为193海里．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）AE 的长为52【分析】（1）连结OC ，OE ，根据圆周角定理得到∠BCO+∠1=90°，而∠DCB=∠CAD ，∠CAD=∠1，于是∠DCB+∠BCO=90°；（2）根据切线的性质得到EC=EA ，OE ⊥AC ，则∠BAC=∠OEA ，得到tan ∠DCB=tan ∠OEA=23OA AE =，易证Rt △CDO ∽Rt △CAE ，得到23DC OC OA DA AE AE ===，求得CD ，然后在Rt △DAE 中，运用勾股定理可计算出AE 的长．【详解】（1）证明：连结OC ，OE ，如图，∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，又∵∠DCB=∠CAD ，∵∠CAD=∠1，∴∠1=∠DCB，∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EA为⊙O的切线，∴EC=EA，OE⊥AC，∴∠BAC=∠OEA（等角的余角相等），∴∠CDB=∠OEA．∵tan∠DCB=23，∴tan∠OEA=23 OAAE=，∵Rt△DCO∽Rt△DAE，∴23 DC OC OADA AE AE===，∴CD=23×6=4，在Rt△DAE中，设AE=x，∴（x+4）2=x2+62，解得x=52．即AE的长为52．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（1）线段CD 的长为4.8；（2）S △CPQ =﹣25t 2+4825t ；当t=95秒或t=3秒时，S △CPQ ：S △ABC =9：100．（3）当t 为2.4秒或14455秒或2411秒时，△CPQ 为等腰三角形． 【详解】解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10．∵CD ⊥AB ， ∴11··22ABC S BC AC AB CD ==． ∴68 4.810BC AC CD AB ⨯===． ∴线段CD 的长为4.8．(2)过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如图①所示． 由题意知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8－t ．∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠HCP ＝90°－∠DCB ＝∠B ．∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°．∴∠CHP ＝∠ACB ．∴△CHP ∽△BCA ．∴PH PC AC AB=， 即 4.8810PH t -=． ∴964255PH t =-． ∴211964248·()22255525CPQ S CQ PB t t t t ==-=-+． 存在某一时刻t ，使得S △CPQ ︰S △ABC ＝9︰100． 理由：∵168242ABC S =⨯⨯=， 且S △CPQ ︰S △ABC ＝9︰100∴2248():249:100525t t -+=． 整理得5t 2－24t ＋27＝0，即(5t －9)(t －3)＝0． 解得95t =或t ＝3． ∵0≤t≤4.8， ∴当95t =或t ＝3时，S △CPQ ︰S △ABC ＝9︰100． (3)①若CQ ＝CP ，则t ＝4.8－t ．解得t ＝2.4．②若PQ ＝PC ，如图①所示．∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ， ∴122t QH CH QC ===． ∵△CHP ∽△BCA ． ∴CH CP BC AB=， 即t4.8t 2610-=． 解得14455t =． ③若QC ＝QP ．过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如图②所示． 由△QEC ∽△ACB ，得CE CQ BC AB=， 即2.42610t t -=，解得2411t =． 综上所述：当t 的值为2.4或14455或2411时，△CPQ 为等腰三角形．。