击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方
向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据： sin17 °
3， 6
33 5.7446 ）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
所以 4 x2 y2 x 12 y 12 ，
化简得

x

1 2
2



y

1 2
2


3 2
，
所以点
M
的轨迹是以

1 2
，1 2

为圆心，
3
2 2
为半径的
．
y
BM C
A
O
x
圆，所以
AM
的取值范围是


6 2
2，6 2
2

直线 l2： x＋ky－2＝0 相交于点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x－y－4＝0 的距
离的最大值为
．3 2
策略三 两定点 A、B，动点 P 满足 PA PB 确定隐形圆 例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A(2,3) ，点 B(6, 3) ，点 P 在直线 3x 4y 3 0 上，
点，因此有 2 1 OM 2 1 1≤ Байду номын сангаас2 (a 4)2 ≤ 9 2 2 ≤ a ≤ 2 2 ．
2
2
（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A、B 是圆 C1 : x2 y2 1上的动点， AB= 3 ， P 是圆
C2 : (x 3）2 ( y 4)2 1 上的动点，则 PA PB 的取值范围是
变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x2 y2 16 ，点
P (1, 2) ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM PN 0 ，若 PQ PM PN ，则 PQ 的
最小值为
． 3 3 5
变式 2 已知圆 C1 ： x2 y2 9 ，圆 C2 ： x2 y2 4 ，定点 P(1,0) ，动点 A, B 分别在圆 C1 和圆 C2 上，满足 APB 90 ，
． [7,13]
略解：取
AB
的中点
M，则
C1M=
1 2
，所以
M
在以
C1
圆心，半径为
1 2
的圆上，且
PA PB 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．
（4）若对任意R，直线 l：xcos＋ysin＝2sin(＋ )＋4 与圆 C：(x－m)2＋(y－ 3 m)2 6
＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是

0,
，可得
x＝4，y＝－5，即直线过定点
M(4，－5)，
由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5，2)，方程为(x－5)2＋(y－2)2＝50，
∵|CA|＝4 2 ，∴CH 最小为 5 2 －4 2 ＝ 2 ，CH 最大为 4 2 ＋5 2 ＝9 2 ，
∴线段 CH 长度的取值范围是[ 2 ，9 2 ]．
例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2 y2 4 上两点，
点 A(1，1) ，且 AB⊥AC，则线段 BC 的长的取值范围为
解：法一（标解）：设 BC 的中点为 M x, y ，
因为 OB2 OM 2 BM 2 OM 2 AM 2 ，
圆 C 上存在点 M，满足 MA2＋MO2＝10，则实数 a 的取值范围是
．[0，3]
略解：M 满足的方程为 x2 ( y 1)2 4 ，转化为两圆有公共点 （2）（2017 年南京、盐城一模）在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a,b, c ，若
a2 b2 2c2 8 ，则 ABC 面积的最大值为
． ( 1 , 5) 22
略解：直线 l 的方程为：(x-1)cos＋(y- 3 )sin＝4，M(1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．
注：直线 l：(x-x0)cos＋(y- y0)sin＝R 为圆 M： (x x0 )2 (x y0 )2 R2 的切线系．
2
3
O 到 BC 的距离为 3 ，则边 BC 上的高 h 的最大值为 3 + 2 3 = 3 ，则面积的最大值
y2
2
3
y
l 领海 公海
整理得，
x

9 4
2

y

9 4
3
2

9 4
，
B
所以点 P(x，y) 的轨迹是以点
9 ，9 44
3 为圆心，
60
3 为半径的圆． 2
A
x
图乙
因为圆心
9 ，9 44
3
到领海边界线
l
：
x

3.8
的距离为
1.55，大于圆半径
3 2
，
所以缉私艇能在领海内截住走私船．
策略六 由圆周角的性质确定隐形圆 例 8 （1）已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 的对边， a 2 ，
(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC 则 ABC 面积的最大值为_________． 3
略解：cos∠A＝ 1 ，∠A＝60°，设 ABC 的外接圆的圆心为 O，外接圆的半径为 2 3 ，则
22 4
5
44
5
变式（2008 年高考江苏卷）若 AB 2 ，AC 2BC ，则 SABC 的最大值
．2 2
策略五 两定点 A、B，动点 P 满足 PA ( 0, 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB
例 6（1）（2016 年南通一模）在平面直角坐标 xOy 中，已知点 A(1,0), B(4,0) ，若直线
若圆上存在点 P，使得 APB 90 ，则 m 的取值范围是
． 4, 6
略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．
（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ， Q(2 ，1) ，直线 l：ax by c 0 其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上
切点分别为 A，B，若满足 PB 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围
_________．
－
20 3
,4

例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l（一条南北方向的直线）3.8 海里的
A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追
（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设 m R ，直线 l1 ： x my 0 与直线
l2 ： mx y 2m 4 0 交于点 P(x0, y0 ) ，则 x02 y02 2x0 的取值范围
是
．[12 4 10,12 4 10]
略解：l1 过定点 O(0，0)，l2 过定点 A(2，-4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点）， 变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：kx－y＋2＝0 与
（2）（2016 年南京二模）已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆 M 上
存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得∠APB＝60°，则 a 的取值范
围为_________．
解： 由题意得 OP 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共
“隐形圆”问题
一、问题概述
江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），
从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
二、求解策略
如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．
则线段 AB 的取值范围
． [2 3 1, 2 3 1]
y A
B
OP
x
变式 3 已知向量 a、b、c 满足 a 3, b 2, c 1,(a c) (b c) 0 ，则 a b 范围
为
．[2 3 1, 2 3 1]
策略二 动点 P 对两定点 A、B 张角是 900 （ kPA kPB 1 ，或 PA PB 0）确定隐形圆 例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C： (x 3)2 ( y 4)2 1和两点 A(m,0) ， B(m,0) ，
x y m 0 上存在点 P 使得 PA 1 PB ,则实数 m 的取值范围 2
是
.[2 2, 2 2]
略解：点 P 满足圆的方程为 x2 y2 4 ，转化到直线与圆相交.
（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，
O1：(x－4)2＋y2＝4，动点 P 在直线 x 3y b 0 上，过点 P 作圆 O，O1 的两条切线，
．2 5 5
解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.
设
A(
c 2
, 0)
，
B( c 2
, 0)