常见几何图形的折叠问题
图形的折叠是图形变换的一种，折叠型问题的立意新颖，变化巧妙，是近几年中考中的热点问题，主要考察学生的探究能力，空间想象能力，抽象思维能力及逻辑推理能力。
体现的是教材中的轴对称问题，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，是培养学生识图用图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。
折纸中所蕴含着的丰富数学知识备受中考命题者的青睐，设计了许多别具创意的折叠问题，现采撷其中较有代表性的试题，予以例析．
一、三角形中的折叠
例1 如图1，直角三角形纸片ABC ，∠C=90º，AC=6，BC=8，折叠△ABC 的一角，使点B 与A 点重合，展开得折痕DE ，求BD 的长．
功能分析：此题主要运用勾股定理解决折叠问题，往往融方程与几何图形于一体，具有较强的综合性。
解法研究: 由折叠可知，△ADE ≌△BDE ．所以
AD=BD ．于是，在Rt △ACD 中，由勾股定理建立方程，求出AD 的长即可．
设BD=x ，则AD=x ，CD=8－x ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AC 2+CD 2= AD 2，所以62+(8－x)2= x 2，解得x=
425．所以BD 的长为4
25． 二、特殊四边形中的折叠 1. 矩形中的折叠
例2 如图2，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在1C 处，B 1C 交AD 于E ，AD =8,AB =4,求△BED 的面积.
功能分析：由折叠后的图形与原图形全等，从而可知△BCD ≌△B 1C D ,
则易得BE =DE ..在Rt △ABE 中，用勾股定理先算出BE 的长，再在Rt △BEF 中，
用勾股定理求出EF 的长，即可求出△BDE 的面积.
折叠问题常结合全等三角形和等腰三角形来解决． 矩形的折叠常与直角三角形有关，选择一个直角三角形，运用勾股定理来解是常用的方法．
解法研究：在矩形ABCD 中，AD ∥BC , ∴∠2=∠3.
当矩形ABCD 沿着直线BD 折叠后，△B 1C D 与△BCD 关于直线BD 对称， ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠1, ∴BE =ED .
图2
作EF ⊥BD 于F ,则BF =
2
1
BD ,BD =.544822=+ 设BE =x . ∵BE =ED , ∴AE =8- x .
在Rt △ABE 中,,)(2
2
2
84x x =-+ ∴x =5. 在
Rt △BEF
中
,
,)(,)(22222252552+=+=EF EF x
∴EF =5,∴.102
1
=⋅=
∆EF BD S BDE 例3 如图3（1），矩形纸片ABCD 的边长分别为()a b a b <，．将纸片任意翻折（如图3（2）），折痕为PQ ．（P 在BC 上），使顶点C 落在四边形APCD 内一点C '，PC '的延长线交直线AD 于M ，再将纸片的另一部分翻折，使A 落在直线PM 上一点A '，且A M '所在直线与PM 所在直线重合（如图3（4））折痕为MN ． 猜想两折痕PQ MN ，之间的位置关系，并加以证明．
功能分析：解决本题的关键在于能否抓住互相重合部分的特点，这要求同学们掌握折痕是
对称轴这一性质。
解法研究：猜想PQ MN ∥，欲证明猜想成立，只需证明MPQ NMP ∠=∠． 因为四边形ABCD 是矩形，所以AD BC ∥，且M 在AD 直线上，则有AM BC ∥ 所以AMP MPC ∠=∠，由翻折可得：1
2
MPQ CPQ MPC ∠=∠=
∠， 1
2
NMP AMN AMP ∠=∠=∠，所以MPQ NMP ∠=∠，故PQ MN ∥．
2. 正方形中的折叠
A D
C
B
a
b
图3（1） 图3（2）
图3（3）
图3（4）
图4 例4 如
图4，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）
（A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm
功能分析：解决此类问题时，关键要寻找出折叠前后的不变量 （即相等的线段、相等的角），同时要注意利用方程的思想．
解法研究：根据折叠前后对应的两个图形是全等图形可知，EN=DN ． 所以EN=DN=CD －CN=8－CN ．因为E 是BC 中点，所以EC=
2
1
BC= 2
1×8cm=4cm ．在Rt △ECN 中，根据勾股定理得EN 2=EC 2+CN 2，即(8－CN)2 =42+CN 2，解得CN=3．故应选A ．
例5（2005年兰州中考题）如图5，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）
图5 功能分析：此题是考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，让学生在通过实际操作的基础上积累生活经验，有利于培养学生的创新能力和实践能力。
答案: C
3. 梯形中的折叠
例6 如图6，梯形纸片ABCD ，∠B ＝60°，AD ∥
BC ，AB ＝AD ＝2，BC ＝6．将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕为AE ，则CE ＝ ． 功能分析: 以特殊四边形为背景的折叠问题，在中考试题屡见不鲜，对于此类问题，很多同学往往感到无从下手.解这类问题的关键还是弄清折痕的特点，认识到折起部分与重合部分是全等的。
解法研究：由题意得:AB=AD,BE=ED,.600=∠=∠EDA B 又∵ AD ∥BC ，∴∠BAD ＝120°,由四边形内角和得, ∠BED ＝120°∴四边形ABED 是平行四边形,又∵AB=AD, ∴四边形ABED 是菱形,故CE=BC-BE=BC-AD=6-2=4.
解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的
A
B
C
D (B )
E 图6
形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.。