用P表示已知条件及已有的定义、公理、定理等，Q表示 所要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显 Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 … 成立的条件
综合法可用框图表示为： P⇒Q1 Q1⇒Q2 Q2⇒Q3 … Qn⇒Q
2．反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相 反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛 盾，从而否定与结论相反的假设，达到肯定原命题正确的一种 方法．反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷 举反证法(结论的反面不只一种)． 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设； (2)归谬；(3)存真．
有f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x
2 1
－x
2 2
＝2x1x2≥0，即
f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2) ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．
对于f(x)＝ x，x∈[0,1]，显然满足条件①②.
对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2 x1x2 ＋x2)＝ －2 x1x2≤0， 即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2. ∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.
不一定正确， 有待证明
在前提和推理形式都正 确的前提下，结论一定 正确
作 猜测和发现结论、探索和提供证 证明数学结论，建立数
用 明思路
学体系的重要思维过程
二、数学问题的证明 1．综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法， 应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析 法就可以帮助我们克服这种困难．在实际证明问题时，应当把 分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题途 径。
c>0”，给出如下一种解法：
[解析] 由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋
b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0
的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x的不等式
k x＋a
＋
x＋b x＋c
<0的解集为

(－1，－13)∪(12，1)，则关于x的不等式axk＋x 1＋bcxx＋＋11<0的解集
(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0； (2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝ (x∈[0,1])是否是理想函数．
[解析] (1)证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0， 又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0， ∴f(0)≥0.于是f(0)＝0. (2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件 ②， ∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函数． 对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1.
3．数学归纳法 数学归纳法是逻辑推理，它的第一步称为奠基步骤，是论 证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真 实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的 保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二 步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳 假设”，否则就是错误的．
个数字，且每个数字与后一个数字相差1，则第n－1行的最后
一个数字再加3即为第n(n≥3)行的从左至右的第3个数．前n－
1行共有数字1＋2＋3…＋(n－1)＝nn2－1，则第n(n≥3)行的从
左至右的第3个数为nn2－1＋3＝n2－2n＋6.
类比推理
(1)对于问题：“已知关于x的不
等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋
知识结构
专题研究
归纳推理
将全体正整数排成一个三角形数 阵：
1 23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个 数为________．
[答案] [解析]
n2－n＋6 2
第1行，第2行，第3行，…，分别有1,2,3，…，
为________．
[答案] (－3，－1)∪(1,2)
[解析] 由关于x的不等式x＋k a＋xx＋＋bc<0的解集为(－1，－
1 3
)∪(
1 2
，1)，得
k 1x＋a
＋
1x＋b 1x＋c
<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即
关于x的不等式axk＋x 1＋bcxx＋＋11<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
推理与证明 第一章
章末归纳总结 第一章
1 知识梳理
3 专题研究
2 知识结构
4 限时训练
知识梳理
一、推理 推理的分类、过程和作用如下：
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
过 程
由部分到整体、 个别到一般
由特殊到特殊
由一般到特殊
结 不一定正确，有 论 待证明
(2)如图(1)有面积关系：
S△PA′B′ S△PAB
＝
PA′·PB′ PA·PB
，则图(2)有
体积关系：VPV－PA－′ABB′CC′＝________.
[答案]
PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC
[解析] 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得 VPV－PA－′ABB′CC′＝PA′PA·P·PBB′·P·PCC′.
[点评] 在平时学习中，常以一两个对象为中心，把它们 的特征中有类比关系的特征归纳整理成图表．思维过程一般 为：具体问题→类比推理→联想→形成一般命题→ 结论猜想→ 证明预见.
用综合法证明
对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如 果同时满足①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若 x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函 数f(x)为理想函数．
∴f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数． 综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与 f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．