<= <= <= <= <= <= <= <= <= <=
= = = = = = =
$488,125
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网络最优化问题
7.2 最大流问题
Maximum Flow Problems 最大流问题
最大流问题也与网络中的流有关，但目标不是使得
流的成本最小化，而是寻找一个流的方案，使得通
过网络的流量最大
这种问题有哪些应用呢？
BMZ公司的网络模型 A Network Model for BMZ
RO [60] NY [80] [50]
[40] BO [70] ST
LA
[70] NO
[50]
[40] [30] LI
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网络最优化问题 BMZ公司最大流问题 The BMZ Maximum Flow Problem
From Stuttgart Stuttgart Stuttgart Rotterdam Bordeaux Bordeaux Lisbon New York New Orleans To Rotterdam Bordeaux Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles Maximum Flow Ship 50 70 30 50 30 40 30 80 70 150 Capacity 50 70 40 60 40 50 30 80 70 Nodes Stuttgart Rotterdam Bordeaux Lisbon New York New Orleans Los Angeles Net Flow 150 0 0 0 0 0 -150 Supply/Demand = = = = = 0 0 0 0 0
[80 unit s max.] Ne w O rl e an s LA Los An gel e s NO [70 unit s max]
[50 unit s max.] LI [30 unit s max.] Lis bon
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网络最优化问题 BMZ公司最大流问题 The BMZ Maximum Flow Problem
至少一个供应点一个需求点剩下都是转运点 通过弧的流只允许沿着箭头方向流动，通过弧的 最大流量取决于该弧的容量 网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供 应点中产生的流都能够到达需求点 在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流 的成本和流量成正比
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练习7.2
迈康塞尔公司是一个生产和在其零售渠道中销售完全 一体化的公司。产品生产以后存放在公司的两个仓库里，直到零售 渠道需要供应为止。公司用卡车把产品从两个工厂运送到仓库里， 然后再把产品从仓库运送到零售渠道中。 以满载数量为单位，下表给出了每个工厂每月的产出，从工厂运 送到仓库的单位运输成本以及每月从工厂运送到仓库的最大数量。
8
网络最优化问题 无限配送公司问题 Distribution Unlimited Co. Problem
优化结果 The Optimal Solution
[80] F1 (50) [0] DC (30) F2 [70] (40) (50) W2 [- 90]
9
[- 60] (30) (30) W1
Distribution Unlimited Co. <= 50 <= 50 无限配送公司
<= <= 50 50
Capacity
Unit Cost $700 $300 $200 $400 $400 $900
Nodes Net Flow F1 80 F2 70 DC 0 W1 -60 W2 -90
= = = = =
[80] F1 $300 [50] $700 [0] DC $400 [50] F2 [70] $400 [50] $900 $200 [50]
[- 60] W1
W2
[- 90]
6
网络最优化问题
实际举例 From To
F1 F1 DC DC F2 F2 W1 DC W1 W2 DC W2 Total Cost Ship 30 50 30 50 30 40
5
$200/unit [50 unit s max.]
60 units W1 needed
理论模型
网络最优化问题
min Z 700 xF1W1 300 xF1DC 900 xF2W2 400 xF2 DC 200 xDCW1 400 xDCW2 xF1W1 xF1DC 80 xF2W2 xF2 DC 70 xF1DC xF2 DC xDCW1 xDCW2 x x F1W1 DCW1 60 xF2W2 xDCW2 90 xF1DC 50 x F2 DC 50 xDCW1 50 xDCW2 50
到 从 单位运输成本(美元 运输能力 ) 仓库1 仓库2 560 600 仓库1 仓库2 125 175 150 200 200 300 产出
工厂1 425 工厂2 510
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对于每一个零售点（RO），下一个表格给出了它的月需求量、用 卡车从仓库运输到零售点的成本以及每月可以从仓库运送到零售点 的最大数量。
网络最优化问题 最小费用流问题 Minimum Cost Network Flow Model
最小费用流问题的构成：
பைடு நூலகம்
节点(nodes)（供应点 、需求点 、转运点）
弧（arcs）
目标: 通过网络满足需求，提供供应，
最小化流的总成本
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网络最优化问题 最小费用流问题的假设 Assumptions of Minimum Cost Network Flow
3
网络最优化问题
7.1 最小费用流问题
实际举例1
发电量配送问题 Distribution Unlimited Co. Problem
无限配送公司将两家电厂发的电负责配送给两个社区， 发电厂１的发电量为80 千瓦/小时. 发电厂２的发电量为70千瓦/小时。 社区１需要60千瓦/小时. 社区2需要90千瓦/小时. 其配送网络如下图所示，其中DC节点表示变电站。图中 弧上数据表示每千瓦/小时传输费用及传输容量。 问题：应该如何进行传输，可在满足社区用电量要求下 使总传输费用最少？
470 [100]
[-150]
RO1
[-200]
RO2
RO3
[-150]
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第二步：编写电子表格模型求解
练习7.2迈康塞尔公司运输问题 From To Ship 工厂1 仓库1 125 工厂1 仓库2 75 工厂2 仓库1 125 工厂2 仓库2 175 仓库1 RO1 100 仓库1 RO2 50 仓库1 RO3 100 仓库2 RO1 50 仓库2 RO2 150 仓库2 RO3 50 总成本 Capacity Unit Cost 125 $425 150 $560 175 $510 200 $600 100 $470 150 $505 100 $490 125 $390 150 $410 75 $440 节点 工厂1 工厂2 仓库1 仓库2 RO1 RO2 RO3 净流量 200 300 0 0 -150 -200 -150 供应/需求 200 300 0 0 -150 -200 -150
想想看！
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网络最优化问题 BMZ公司最大流问题 案例研究1 The BMZ Maximum Flow Problem
BMZ公司是欧洲一家生产豪华汽车的制造商，其产品出 口到美国对公司特别重要。BMZ汽车在加利福尼亚特别 受欢迎，因此保证洛杉矶中心的良好的供应就显得特别 重要，以便能及时提供维修汽车的配件。BMZ公司需要 一个运输计划，从德国斯图加特运输配件至洛杉矶中心 的配件尽可能多，以便补充该中心正在减少的库存。运 送多少配件到洛杉矶中心的关键在于该公司配送网络的 容量。 问题：从斯图加特到洛杉矶的各条运输路线要运送多少 单位的配件？
到 从 仓库1 470 仓库2 390 需求 150 505 410 200 490 440 150 100 125 150 150 150 200 100 75 150 单位运输成本(美元) RO1 RO2 运输能力 RO3 RO1 RO2 RO3
管理者现在需要确定一个配送方案（每个月从每个工厂运送到每个 仓库以及从每个仓库运送到每个零售渠道的满载车次数），使得总 运输成本最小。
7. 网络最优化问题
Network Optimization Problems
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网络最优化问题 Applications of Network Optimization 网络最优化模型的应用
网络在各种实际问题中以各种各样的形式存在。信 息、交通、电子和通讯网络遍及我们日常生活的各个方 面，网络规划也广泛用于解决不同领域中的各种问题。
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网络最优化问题 无限配送公司问题 Distribution Unlimited Co. Problem
配送网络数据 Data for Distribution Network
80 units produced F1 $700/unit $300/unit [50 unit s max.] DC $400/unit [50 unit s max.] 70 units produced F2 $900/unit $400/unit [50 unit s max.] W2 90 units needed
Supply/Demand 80 70 0 -60 -90
$110,000
[80] F1 $300 [50] $700 [0] DC $400 [50] F2 [70] $400 [50] $900 $200 [50]
[- 60] W1