5.2 最小费用流问题
大规模的最小费用流问题的求解一般采用“网络单纯法（The Network Simplex Method）”。现在，许多公司都使用网络单纯法来解决他们的最 小费用流问题。有些问题是非常庞大的，有着数万个节点和弧。有时，弧的 数量甚至可能会多得多，达到几百万条。
但Excel学生版（非专业版）的“规划求解”中没有网络单纯法，但其他的 线性规划的商业软件包通常都有这种方法。
几个例子
例1
是北京、上海等 十个城市间的铁路交 通图。与此类似的还 有电话线分布图、煤 气管道图、航空路线 图等。
北京
天津
郑州
济南 徐州
青岛 连云港
武汉
南京
上海
例2旅行商问题/货郎（担）问题 (TSP-Traveling Salesman Problem)
• 一名推销员准备前往若干城市推销产品. 如何为他(她)设计一条最短的旅行 路线(从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地)？这一问题的研 究历史十分悠久，通常称之为旅行商问题.
（6）邮递员从邮局vi出发要经过每一条边将邮件送到用户手中，最后回到邮局vi，如何 安排路线使总路程最短。这属于中国邮递员问题。
5.1 网络最优化问题基本概念
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
（3）转运问题：有出发地(供应点-供应量)和目的地 (需求点-需求量)，有转运点，但没有弧的容量限制 (或有容量限制)，目标是总流量费用最小（或总利 润最大）。
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题有五种重要的特殊类型(续)： （4）最大流问题：有供应点、需求点、转运点、弧的容量限制，但没有供应量和
实用运筹学 －运用Excel建模和求解
第5章 网络最优化问题
本章内容要点
网络最优化问题的基本概念 网络最优化问题的四种主要类 型：最小费用流、最大流、最 短路、最小支撑树 各种网络最优化问题的建模与 应用
本章节内容
•5.1 网络最优化问题基本概念 •5.2 最小费用流问题 •5.3 最大流问题 •5.4 最短路问题 •5.5 最小支撑树问题 •5.6 货郎担问题和中国邮路问题
5.2 最小费用流问题
（3）约束条件(节点
净流量、弧的容量限
制、非负）
① 供应点 F1: 供应点 F2:
Min z = 700 fF1W1 300 fF1DC 200 fDCW1 400 fF 2DC 900 fF 2W 2 400 fDCW 2
② 转运点 DC: ③ 需求点 W1:
需求点 W2:
（50，400）
70
F2
（无限制，900）
W2
90
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题的三个基本概念： 1、最小费用流问题的构成（网络表示）
➢（1）节点：包括供应点、需求点和转运 点； ➢（2）弧：可行的运输线路（节点i->节点 j），经常有最大流量（容量）的限制。
5.2 最小费用流问题
2、最小费用流问题的假设 （1）至少一个供应点； （2）至少一个需求点； （3）剩下都是转运点； （4）通过弧的流只允许沿着箭头方向流动，通过弧的最大流
50 fF 2W 2 ,
fDCW 2
0
5.2 最小费用流问题
例5.1的电子表格模型：列出了网络中的弧和各弧所对应的容量、 单位成本。决策变量为通过弧的流量。目标是计算流量的总成本。 每个节点的净流量为约束条件。供应点的净流量为正，需求点的 净流量为负，而转运点的净流量为0。 这里用了一个窍门：用两个SUMIF函数的差来计算每个节点的净 流量，这样快捷且不容易犯错。
3、最小费用流问题的解的特征 （1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当 且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点所 需要的流量总和时（即平衡条件），最小费用 流问题有可行解； （2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、 需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小费 用流问题的可行解就一定有所有流量都是整数 的最优解（与运输问题和指派问题的解一样）。 因此，没有必要加上所有决策变量都是整数的 约束条件。
5.1 网络最优化问题基本概念
（4）点vi表示自来水厂及用户，vi与vj之间的边表示两点间可以铺设管道，权为vi与vj间 铺设管道的距离或费用，极值问题是如何铺设管道，将自来水送到其他5个用户并且 使总的费用最小。这属于最小支撑树问题。 (5) 售货员从某个点vi出发走过其他所有点后回到原点vi，如何安排路线使总路程最短。 这属于货郎担问题或旅行售货员问题。
(
fv2v4
fv2v5 )
fvsv2
0
本问题的目标是从vs流 出的总流量最大。
（3）约束条件(转运点的 净流量为0、弧的容量限 制、非负）
s.t
fv3v5 fvsv3 0
例3 稳定婚配
• 假设有n个男人和n个女人, 每人都希望从n个异性中选 择一位自己的配偶. 假设每人都对n个异性根据自己的偏 好进行了排序, 以此作为选择配偶的基础. 当给定一种婚 配方案(即给每人指定一个配偶)后, 如果存在一个男人和 一个女人不是互为配偶, 但该男人喜欢该女人胜过其配偶, 且该女人喜欢该男人也胜过其配偶, 则该婚配方案称为不 稳定的. 安排稳定的婚配方案的问题称为稳定婚配问题。
fF1W1 fF1DC = 80
fF 2DC +
fF 2W 2
=
70
f DC W 1
fDCW 2
( fF1DC fF 2DC )
0
④ 弧的容1 fDCW1 = 60
f
DC
W
2
fF 2W 2
90
fF1DC , f F 1W 1 ,
fF 2DC , fDCW1, fDCW 2 fF1DC , fDCW1, fF 2DC ,
最大流问题也与网络中的流有关，但目标不是使 得流的总成本最小，而是寻找一个流的方案，使 得通过网络的总流量最大。除了目标（流最大化 和成本最小化）不一样外，最大流问题的特征和 最小费用流问题的特征非常相似。
5.3 最大流问题
例5.2 某公司要从起始点vs（发点）运
送货物到目的地vt（收点），其网络图 如图5-4（下一张幻灯片）所示。图中 每条弧（节点i->节点j）旁边的权cij表 示这段运输线路的最大通过能力（容 量）。要求制定一个运输方案，使得从 vs到vt的运货量达到最大，这个问题就 是寻求网络系统的最大流问题。
需求量的限制，目标是通过网络到目的地的总流量最大。 （5）最短路问题：有供应点(供应量为1) 、需求点(需求量为1) 、转运点、没有
弧的容量限制，目标是通过网络到目的地的总距离最短。
5.3 最大流问题
在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流 问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排 水系统的水流问题等。而网络系统最大流问题是 图与网络流理论中十分重要的最优化问题，它对 于解决生产中的实际问题起着十分重要的作用。
量取决于该弧的容量； （5）网络中有足够的弧提供足够容量，使得所有在供应点中
产生的流都能够到达需求点；（有解） （6）在流的单位成本已知前提下，通过每一条弧的流的成本
和流量成正比；（目标是线性的） （7）最小费用流问题的目标在满足给定需求条件下，使得通
过网络供应的总成本最小（或总利润最大）。
5.2 最小费用流问题
本章主要内容框架图
点
基本概念
连线（边或弧） 权（赋权图） 网络图
网络最优化问题
主要类型
最小费用流问题 最 最大 短流 路问 问题 题
最小支撑树问题
货郎担问题和中国邮路问题
节点（供应点、转运点、需求点）
建模和求解
净流量 数学模型
电子表格模型
图论的起源和发展
• 1736年，欧拉的哥尼斯堡七桥问题
5.3 最大流问题
50
vs
70
40
v1
60
40
v2 50
v3
30
v4
80
vt
70 v5
5.3 最大流问题
例 5.2 最 大 流 问 题 的 线 性
规划数学模型： （1）决策变量
Max F=fvsv1 fvsv2 fvsv3
设fij为通过弧（节点i-> fv1v4 fvsv1 = 0
节点j）的流量。 （2）目标函数
5.1 网络最优化问题基本概念
网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式存 在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生活的 各个方面，网络规划也广泛用于解决不同领域中 的各种问题，如生产、分配、项目计划、厂址选 择、资源管理和财务策划等等。
网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提供 了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应用于 科学、社会和经济活动的各个领域中。
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题的模型在网络最优化中扮演着重要的角色，因为它的适用性 很广，并且求解方法容易。通常最小费用流问题用于最优化货物从供应点到 需求点的网络。目标是在通过网络配送货物时，以最小的成本满足需求，一 种典型的应用就是使得配送网络的运营最优。
最小费用流问题的特殊类型包括运输问题和指派问题，以及在下面将要提到 的两种重要类型：最大流问题和最短路问题。
5.2 最小费用流问题
例5.1最小费用流问题的数学模型为： （1）决策变量：设fij为通过弧(节点i->节点j)的流 量。 （2）目标函数
本问题的目标是总运输成本最小
Min z = 700 fF1W1 300 fF1DC 200 fDCW1 400 fF2DC 900 fF2W 2 400 fDCW 2
A D
C B
图论的起源和发展
• 1847年，基尔霍夫 ，电网络，树”； • 1852年，《四色猜想》； • 1857年，凯莱 ， 同分异构，“树”； • 1859年，哈密顿， 哈密顿回路 ；