分解因式专题突破第一部分：专题介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本专题在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．第二部分：知识总结1．定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式．2、注意事项因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
（1）因式分解的对象是多项式：如把25a bc 分解成5a abc 就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式；再如：把211x -分解为11(1)(1)x x+-也不是分解因式，因为211x -是分式，不是整式； （2）分解因式的结果必须是积的形式：如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式；（3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：221(1)x x x x -=-就不是分解因式，因为21(1)x x-是分式，不是整式；（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；（5）公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；（6） 结果如有相同因式，应写成幂的形式；（7）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；3、搞清分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：()m a b c ++ ma mb mc ++ 因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确．4、注意分解因式的一般步骤（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；❖ 分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止．为了便于记忆请同学们记住以下“顺口溜”：“分解因式并不难，首先提取公因式，然后考虑用公式，两种方法反复试，结果必是连乘积”，请同学们还要注意“反复试”的目的，就一直分解到每个因式都不能再分解为止，然后检查分解因式的结果是否正确，也可以简记为“一提二公三查”．第三部分：方法介绍1．提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．这种方法实质上是逆用乘法分配律．要正确应用提公因式法，必须注意以下几点：（1）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下：首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数；其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式 222291812x y x y x y z -+，各项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母是,,x y z ，x 的指数取最低的２，y 的指数取最低的１因此公因式是23x y ．（2）如果多项式首项是“－”号，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的；在提出“－”号时，多项式的各项都要变号，如：2222279(279)x y xy x y xy -+=--=9(3)xy x y --．（3）当某项全部提出后，剩下的是1，而不是0，如：2(1)m mn m m m n +-=+-，而不能发生2()m mn m m m n +-=+的错误．分解因式整式乘法专项训练一、把下列各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练二：把下列各式分解因式。
1、()()x a b y a b +-+2、5()2()x x y y x y -+-3、6()4()q p q p p q +-+4、()()()()m n P q m n p q ++-+-5、2()()a a b a b -+-6、2()()x x y y x y ---7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+-11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+-19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+--2．运用公式法把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫运用公式法．（1）平方差公式22()()a b a b a b -=+-，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积运用平方差公式，应注意：①熟记公式特征：公式的右边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方．②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 22()()[()()][()()]2(2)4x y x y x y x y x y x y x y xy --+=-++--+=-=-（其中x y -相当于公式中的a ，x y +相当于公式中的b ）．（2）完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．运用平方差公式，应注意：①熟记公式特征：右边是两数和（或差）的平方，左边是前平方（2a ）、后平方（2b ）、二倍之积在中央（ab 2±）．②注意公式中字母的广泛含义，即可以表示单项式，也可以表示多项式，如： 222()4()4[()2](2)x y x y x y x y ---+=--=--，（其中x y -相当于公式中的a ，2相当于公式中的b ）．③结果的符号应与第二项符号相同．❖ 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；（2）(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；（3）(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；（4）(a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．（5）a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；（6）a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例1.把下列各式分解因式：(1)x 2－4y 2 (2)22331b a +- (3)22)2()2(y x y x +-- (4)24)x y (y)-4(x --例2.把下列各式分解因式：(1) 442-+-x x (2) 323x 6x 3x -+-(3) 215103102+-p p （4）22259251216.0y xy x +- 因式分解(运用公式法): (1)11622-b a(2)8144-y x (3)22)2()2(y x y x +-- (4)36122+-x x(5)4202522++ab b a (6)m m 321912-+ (7)()()122++++b a b a (8)22264)48(x x --（9）()()22224y x y x --+ （10）32244y y x xy -- （11）69222-z y x （12）()()96222+-+-x x x x （13）()()142-+-+n m n m （14）3212123a a a -+- 3、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。