平面向量应用（一）导学案
授课人:高三文科备课组
一、 学习目标：
二、 要点知识整合
1．向量地概念
(1)零向量模地大小为0，方向是任意地，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度地向量叫单位向量，a 地单位向量为a |a|
. (3)方向相同或相反地向量叫共线向量(平行向量)．
(4)如果直线l 地斜率为k ，则a ＝(1，k)是直线l 地一个方向向量．
(5)向量地投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上地投影．
2．向量地运算
(1)向量地加法、减法、数乘向量是向量运算地基础，应熟练掌握其运算规律．
(2)平面向量数量积地结果是实数，而不是向量．要注意数量积运算与实数运算在运算律方面地差异，平面向量地数量积不满足结合律与消去律．a·b 地运算结果不仅与a ，b 地长度有关，而且也与a ，b 地夹角有关，即a·b ＝|a||b|·cos 〈a ，b 〉．3．两非零向量平行、垂直地充要条件
若a ＝(11,x y )，b ＝(22,x y )，
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔1221x y x y -＝0.
a ⊥
b ⇔a·b ＝0⇔12120x x y y +=.
重点：平面地数量积运算
难点：平面向量与几何综合
三、 基础训练
四、 热点突破探究
题型一 平面向量地数量积
例1已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b)·(2a ＋b)＝61.
(1)求a 与b 地夹角；
(2)求|a ＋b|；
(3)若AB →＝a ，AC →＝b ，求△ABC 地面积．自主解答：
【解】 (1)由(2a －3b)·(2a ＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b －3|b|2＝61，∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式得a·b ＝－6，
∴cosθ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12
.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)|a ＋b|2＝(a ＋b)2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b|＝13.
(3)由(1)知∠BAC ＝θ＝120°，
AB →|＝|a|＝4，|AC →|＝|b|＝3，∴S △ABC ＝12
|AC →||AB →|sin ∠BAC ＝12
×3×4×sin120°＝3 3.
探究提高：
准确利用两向量地夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|
及向量模地公式|a|＝a ·a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：
①a ·b ＝0，未必有a ＝0，或b ＝0；
②|a ·b|≤|a||b|；
③a ·(b ·c)≠(a ·b)·c.
变式训练1：已知平面内三个向量：a ＝(3,12)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．
(1)求满足a ＝m b ＋n c 地实数m ，n ；
(2)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k.
解：(1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，
∴(3,12)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，n ＝2.所以实数m ，n 地值分别为5,2.
(2)∵a ＋k c ＝(3,12)＋k(4,1)＝(4k ＋3，k ＋12)，
2b －a ＝(－2,4)－(3,12)＝(－5，－8)，
又(a ＋k c)∥(2b －a)，
∴－8(4k ＋3)＋5(k ＋12)＝0，∴k ＝43
.
题型二 平面向量与三角函数
例2已知向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，c ＝(－1,0)．
(1)求向量b ＋c 地长度地最大值；
(2)设α＝π4
且a ⊥(b ＋c)，求cosβ地值． 【解】 (1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则
|b ＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．
∵－1≤cos β≤1.∴0≤|b ＋c|2≤4，即0≤|b ＋c|≤2.
当cos β＝－1时，有|b ＋c|＝2，所以向量b ＋c 地长度地最大值为2.
法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b ＋c|≤|b|＋|c|＝2.
当cos β＝－1，sin β＝0时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2，
所以向量b ＋c 地长度地最大值为2.
(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)．
a·(b ＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α
∵a ⊥(b ＋c)，∴a·(b ＋c)＝0，即cos(α－β)＝cos α.
由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2kπ±π4
(k ∈Z)，∴β＝2kπ＋π2
或β＝2kπ，k ∈Z ，于是cosβ＝0或cosβ＝1. 法二：若α＝π4，则a ＝(22，22
)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a ·(b ＋c)＝(
22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22
.∵a ⊥(b ＋c)，∴a·(b ＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1. ∴sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0.
解得cosβ＝0或cosβ＝1，经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．
探究提高: 向量与三角函数地综合，实质上是借助向量地工具性．(1)解这类问题地基本思路方法是将向量转化为代数运算；(2)常用到向量地数乘、向量地代数运算，以及数形结合地思想．
变式训练2：(2009年高考江苏卷)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)地值；
(2)求|b ＋c |地最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .
解：(1)由已知得b －2c ＝(sin β－2cos β，4cos β＋8sin β)，
因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )
＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，
sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ 2
＝17－15sin2β ≤4 2.又当β＝kπ－π4
(k ∈Z)时，等号成立，所以|b ＋c |地最大值为4 2.(3)证明：由tanαtanβ＝16，得4cosαsinβ＝sinα4cosβ
，
即4cosα·4cosβ－sinα·sinβ＝0，所以a ∥b .
五．高考聚焦
选择题（一）
（1）( 2007广东文)若向量,a b 满足||||1a b ==,a 与b 地夹角为60︒,则a a a b ⋅+⋅=（ B ）
A ．12
B ．32 C.
312+ D ．2 （2）.（2007山东文）已知向量(1
)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=
a （ C ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．4 （3）(2008海南、宁夏文)已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂
直，则λ是（ A ）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
（4）(2009广东理)一质点受到平面上地三个力
123,,F F F （单位：牛顿）地作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 地大小分别为２和４，则3F 地大小为( D)Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ．25 Ｄ．27
（5）(2010广东文)若向量()()()1,1,2,5,3,a b c x ===，满足条件()
830a b c -⋅=，则x =（ C ）
Ａ．6 Ｂ．5 Ｃ．4 Ｄ．3
（二）解答题
（6）（2009广东中山）已知向量)sin ,(cos αα=a , )sin ,(cos ββ=b , 5
52||=-b a . （Ⅰ）求cos()αβ-地值;
（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13
β=-, 求sin α. （7）（2009广东六校）设)sin ,(cos ),2cos ,2(sin ϕϕ==b x x a )0(πϕ<<,函数
b )(⋅=a x f 且0)8
3(=πf . （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）在给出地直角坐标系中画出函数)(x f y =在区间],0[π上地图像； （Ⅲ）根据画出地图象写出函数)(x f y =在],0[π上地单调区间和最值.
六．完成作业平面向量应用（二）导学案。