*
0 b 0
式 中 b 1。 试 求 各 能 量 的 二 级 近 似 值 ， 并 与 精 确 解 比 较 。
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
作 业
5.1
补充题： ˆ 1 .一 维 无 限 深 势 阱 中 的 粒 子 受 到 微 扰 H b（ 其 中 b 为 x 常数），求能级和波函数的一级修正。 ˆ ˆ ˆ 2 . 设 非 谐 振 子 的 哈 密 顿 量 可 表 示 为 H = H 0 + H , 其 中 ˆ H0
如 果 类 氢 原 子 的 核 不 是 点 电 荷 ， 而 是 半 径 为 r0 、 电 荷 均 匀 分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
2 2 2 Z e s2 3 r 2 2 r0 2 2 r0 ˆ H = 2 2 Z es 2 2 r
2
5.2
5.3
d
2 2
2 dx

1 2
x ，
2 2
3 ˆ H x（ 为 实 常 数 ）
ˆ 用微扰论求H的本征值和本征函数。
例
题
【 例 】 一 电 荷 为 e的 线 性 谐 振 子 受 到 恒 定 弱 电 场 E 的 作 用 ， 电 场 沿 x正 方 向 。 用 微 扰 法 求 体 系 的 定 态 能 量 和 波 函 数 。 （ 教 材 1 3 6页 ， 例 题 ）
【 例 】 设 在 H 0表 象 中 ， 体 系 的 哈 密 顿 算 符 的 矩 阵 表 示 为 2 H = H0 + H 0 0 0 1 0 0 0 3 b 0 0 0 0 b
一维谐振子
ˆ H0
2
d
2 2
2 dx

1 2
x
2
2
En
(0)
(n
1 2
)
1 2
n 0,1, 2,
2

(0) n
N ne
x
2
H n ( x )
n 2
1 x n ( x )

n 1
(x)
n 1
n 1 ( x ) 2
3 .求 能 量 的 二 级 修 正 和 波 函 数 的 一 级 修 正 ， 首 先 要 计 算 一 系 列 的 矩 阵 元 H m n ( m n ), 然 后 计 算 这 些 无 穷 项 的 和 。 与 n相 差 不 大 的 那 几 个 m 所 对 应 的 项 ， 对和的贡献较大。
4 .公 式 中 的 求 和 是 对 不 同 的 状 态 求 和 ， 不 是 对 不 同 的能级求和。
En En
(0)
H nn
m
H mn E
(0)
2
5.掌 握 常 用 的 严 格 解 作 为 近 似 计 算 的 基n础 。 m
n n
(0) m
E
(0)

H mn
En
(0)
Em
m (0)
(0)
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
r r0 r r0
ˆ ˆ ˆ 令 H H 0 H , 其 中 ˆ H0
2
2

2
Z es r
2
2 2 Z e s2 3 r Z es 2 ˆ H r0 2 2 r0 r 0 3
1 Z 2 a0 2e 4 a 0 Zr
(0) (0) n
Em
(0)
(0)

已知 1
n n
(0) m
H mn En
(0)
Em
m (0)
(2)
Hmn En
(0)
Em
(0) 决 于 矩 阵 元
(0)
(0) (0) H m n的 大 小 ， 还 和 能 级 间 隔 E n E m 有 关
(1) ˆ 2 . 能 量 的 一 级 修 正 E n 等 于 H 在
(0) n
态中的平均值。
( 0 )* n
H n n
ˆ H
(0) n
d
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
非简并定态微扰理论的几点讨论
r r0 r r0
类 氢 原 子 基 态 波 函 数 100 ˆ H 11 1 0 0 H 1 0 0 d
*
E1
(1)
2 Z e s r0 5a0
3
4
2
2
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
微扰理论常用薛定谔方程严格解
ˆ H0
一维无限深势阱 一维谐振子
En
(0)
n
(0)
备注
氢原子
平面转子 空间转子
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
Quantum Mechanics
量子力学
第五章 微扰理论
Perturbation Theory
江苏教育学院物理系 高英杰 Email: yjgao@
§5.1
非简并定态微扰理论
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
一.定态微扰论的基本思路
二.非简并定态微扰论的基本公式 三.讨论 四.例题与习题
Non-degenerate Time-independent Perturbation Theory
非简并定态微扰理论的几点讨论
En En
(0)
H nn
m
H mn En
(0)
2
1 .适 用 条 件 (1) E n 和