20.丰富的图形世界1.如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之各的最小值是___________.解析:根据相对面相隔一个面得到的相对的2个数，相加后比较即可.根据题设可得2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的两个面∵2+6=8，3+4=7，1+5=6所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6.2.由几个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是________________.解析:综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有2+1=3个小正方体；第二层应该有1个小正方体；第三层应该有1个小正方体；因此搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1+1=5个.3.一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为________.解析:由左视图可得长方体的高为2；由俯视图可得长方体的长为4。
∵主视图表现长方体的长和高，由长方形面积公式可得主视图的面积为248S ab ==⨯=4.如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面涂上颜色(底面不涂色)，则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有_________个.解析:由题意可知:(1)第1个几何体中只有两个面涂色的小正方体有4个(2)第2个几何体中只有两个面涂色的小正方体有12个(3)第3个几何体中只有两个面涂色的小正方体有20个(4)第4个几何体中只有两个面涂色的小正方体有28个以上数据表明，只有两个面涂色的小正方体的数量是4的倍数414=⨯，1234=⨯，2054=⨯，2874=⨯，依此类推可得第n 个几何体中只有两个面涂色的小正方体的个数为(21)484n n -⨯=-5.一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为( )A.19m 2B.41m 2C.33m 2D.34m 2解析:第一步:先把露出的表面分面两部分-------向上的部分和面向侧面的部分(包括面向前后左右的)，先计算面向上面的:显然，把它们压力到一个平面上就会发现这部分的面积总和相当于9个正方形的面积。
(想象一下从上面俯视时看到的景象)。
第二步:计算面向侧面的，最下面的一层，面积和为3412⨯=第二层248⨯=，第三层144⨯=，所以这部分的面积总和为128424++=综上所述，露出的表面积总和为22292433m m m += 选C 。
6.一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )A.3B.4C.5D.6解析:由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，由此可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，有可能两行都是两层。
所以图中的小正方体最少4块，最多5块。
综上所述，答案的4块，选B.7.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是( )A.20B.22C.24D.26解析:把凹进去的三个面移动至如图位置，则这个零件的表面各等于原正方体的表面积.所以2266224S a ==⨯=8.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )A．B．C．D．解析:根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，综上所述，选项B正确9.5个棱长为1的正方体组成如图的几何体.(1)该几何体的体积是_________(立方单位)，表面积是________(平方单位)；(2)画出该几何体的主视图和左视图.解析:⨯=(1)第个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为515⨯=个正方形，上下共有6个正方形，左右共有6该组合几何体的前面和后面共有5210个正方形，每个正方形的面积为1++=∴组合几何体的表面积为106622(2)主视图和左视图作图如下：10.用同样大小的正方体木块搭的几何体，从正面看到的平面图形如图①所示，从上面看到的平面图形如图②所示.(1)如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成，试画出从左面看到这个几何体所得到的所有可能的平面图形.(2)这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形.解析:1、在图2的六个小正方形内，分别填入适当的正整数，结合1的要求，有两种填法：1 113 1 23 111 1 2（不写数字的空格去掉）从左面看这个几何体所得的平面，有两种可能：AAA A AAA AA A A(不写A 的空格去掉） 2.用1知的方法，在图2的六个正方形知分别填上适当的正整数，显然所填的六个正整数之和最大为11.311 3 1 2（不写数字的空格去掉）故这样的几何体最多由11块小正方体木块构成，从左边看这个几何体所得到平面图形是 AA AA A A A(不写A 的空格去掉）11.如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上 适当的数，使这个正方体相对两个面上标注的数值相等.解析:如图所示，设两空格处分别为x ，y∵a 与2-是相对两面上的数所以2a =-∴2a -=又∵a -与y 相对∴2y =∵x 与1a -相对，∴112x a =-=12.如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n,则n 的所有可能的值之和为__________.解析:主视图最右边可能有4或5或6个小正方体；而由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，所以右边有一个小正方体； 主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可以有3或4个小正方形．∴n 的值可能为：1+4+3=8，1+5+3=9，1+6+3=10，1+4+4=9，1+5+4=10，1+6+4=11， 则n 的所有可能的值之和=8+9+10+11=38．故本题答案为:3813.如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，求立体图形的体积为解析:这个立体图形可以看作由上下两部分组成下部分是一个底面直径为2，高为1的圆柱体，上部分是一个底面直径为2，高为2的圆柱体的一半(纵向切割)它的体积是: 2222()1()22222πππππ⨯⨯+⨯⨯÷=+=14.若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是正面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，正方体的个数至少是多少个。
A.2B.3C.4D.5解析：∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面），最下面的立方体棱长为1， ∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1）+0.5=4.5；那么上面一层假如有立方体的话露出的面积为4×0.5+0.5×0.5=2.25，这两层加起来的面积为：6.75．那么上面一层假如还有立方体的话露出的面积为4×0.25+0.25×0.25=1.0625，这三层加起来的面积为：7.8125．∴立方体的个数至少是3．15.由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是( )A.1B.2C.3D.4解析:设大立方体的棱长为n ,3n ＞,若6n =，即使6个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有346445=＞,故45n =或.除掉已漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长、宽、高分别为a 、b 、c ,45abc =,只能是33545⨯⨯=，故5n =,所以大立方体的四个面油漆过，选项D 正确16.小明把棱长为4的正文体分割成29个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为1的小正方体的个数是( )A.22B.23C.24D.25解析:若分割出棱长为3的正方体，则棱长为3的正方体只能有1个，余下的均是棱长为1的正方体，共37个不满足要求.设棱长为2的正方体有x 个,棱长为1的正方体有y 个，则有29864x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得524x y =⎧⎨=⎩所以选项C 正确17.墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制)，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平等光线照射是，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？解析:有不同的拿法.为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该行(列)的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体.如图所示，20个方格中的数字，表示5行6列共20摞中在搬完后最终留下的正方体个数.照这样，各行可++++=,即最多可搬走27个小正方体.搬个数累计为995402718.一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a 、b 、c(a ＞b ＞c)厘米.如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘米？最大是多少厘米？解析:周长最小时:要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条高(因为c 最小)，再剪开一条为a 厘米的棱(否则不能展开成平面图)，最后再剪开两条宽b 厘米的棱(如图中所表示的①~⑦这七条棱).由此可得图甲，这时最小周长时842248()c b a a b c ⨯+⨯+⨯=++厘米周长最大时:要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱(长c)，再剪开两条次长的棱(宽b)，最后剪开一条最短的棱(高c)，即得图乙，这时最大周长为 842842()a b c a b c ⨯+⨯+⨯=++厘米19.王老师将底面半径为20厘米、高为35厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒入如图所示的杯子中，若杯口直径为20厘米，杯底直径为10厘米，杯高为12厘米，杯身上13厘米，问果汁可以倒满多少杯？解析:如图，由题意知AB=10，CD=5，AC=12，BD=13，过点D 作DE ⊥AB ，则DE=12，于是Rt BDE △中BE=5.延长AC ，BD 交点F ，则由CD:AB=5:10=1:2知CF=12，AF=24.于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差，即223111014512700()33V cm πππ=⋅⨯-⋅⨯= 而大容器内果汁的体积是23203514000()cm ππ⨯⨯= 所以果汁可以倒满1400020()700ππ=杯20.一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的.P 为上底面ABCD 的中心，如果挖去(如图)的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是1厘米的小正方体？解析:剩下的部分:从上往下，第一层有25-1=24个；第二层有25-9=16个；第三层有25-9=16个；第四层、第五层有0个，故共有24-16-16=56个完整的棱长是1厘米的小正方体。