mh3 T 2 24 EI
Vibration Characteristic
y(t ) Asin( t )
Acceleration： Inertia Force：
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
这是一个齐次方程，其通解为
y(t ) C1 cost C2 sin t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 C1 y0
(0) v0 y
C2
v0
v0

,
y (t ) y0 cos t

sin t
y (t ) y0 cos t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，
而且惯性力的方向与位移的方向一致。
幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA

2
由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时
l

1 m
EA ml
st Wl T 2 2 g EAg
例: 求图示结构自振频率 。（EI 为常数，杆件自身 质量不计） [分析] 图乘法求位移
A m C l h
1 1 2 2 1 2 h2 B ( h h hl h) (h l ) EI 2 3 2 3 3EI
y y

v0

sin t
T
0
t
y cos t
-y
y
v v
y A

T t
0

v
sin t
T t
A sin t
0
-A
A y0 ( )
2
v0
2

1 tan ,
y0 v0
3. 结构的自振周期与频率
y
y(t ) A sin(t )

k 1 m m
[分析]
m l/2 l 1

T
2

l/2
l3 解： 柔度系数： 48EI
l
1 48EI m l3 m m l3 T 2 48EI 2
例2 求图示悬臂杆的水平自振周期及竖向自振周期 。（杆件 截面积 A，惯性矩 I，弹性模量 E，自身质量不计，杆顶重物重 量为W）
12-2 单自由度体系的自由振动
Free-vibration of single degree of freedom system
1.
自由振动微分方程
F
理论力学知识的回顾
物体在外力F作用下运动 m
F1
F ma
ma F 0 F1 F 0
F1 ma
达朗贝尔原理 惯性力
达朗贝尔原理：物体在运动中的任意瞬间，作用在 物体上的所有外力与惯性力处于平衡状态。
量有关？
作业
15-2、 15-4、 15-5
例.计算图示刚架的频率和周期。
m
EI1= Stiffness Coefficient I h
I
24 EI k 3 h
1
6 EI h2
12 EI h3
6 EI h2
k
12 EI h3
k 24 EI m mh3
6 EI h2
6 EI h2

1 m
3EI mh2 (h l )
1 h h
[讨论] 当AB刚度改变为无穷大，或BC 改变为无穷大，或均不改变，试比较 3 者频率大小。
思

考
为计算在任意时刻单自由度体系自由振动的位移，需
要知道那些物理量？

外界干扰（初始速度、初始位移）对自由振动的振幅、
周期、频率等有影响吗？

为什么说自振周期是结构的固有性质？它与那些固有
m y
y
m ky
ky
m y
y
ky 0 m y
刚度系数 k 由结构力学方法求解
悬臂柱－质量体系的自由振动 建立振动微分方程的 2 种思路
m
y
ky
m y
stiffness method刚度法 k：Stiffness Coefficient
根据达朗贝尔原理，物体在运动中的任意瞬间，作 用在物体上的所有外力与惯性力处于平衡状态。
T
t
A
a

0
A
ω圆频率或角频率，或简称频率 Natural Frequency
k 1 g g m W st m
T自振周期 Natural Vibration Period
T 2

st m W T 2 2 m 2 2 k g g
例1
求图示体系的频率及自振周期,惯性矩I。
惯性力是虚拟的，不是真正作用在质点上的。只是引入 后，将动力学问题在形式上转化为静力学问题处理。
1.
弹簧体系
自由振动微分方程
y k m ky y
脱离体受力分析： 弹性力：-ky,与位移 y 的 方向相反
my
惯性力：my ,与加速度的方向相反
my
ky 0 m y
悬臂柱－质量体系的自由振动 y k m ky
[分析] 求水平位移和竖向位移 解：
l 3EI
3
W
1
l
1 3EI m m l3
Wl 3 T 2 3EIg 2
例2 求图示悬臂杆的水平自振周期及竖向自振周期 。（杆件 截面积 A，惯性矩 I，弹性模量 E，自身质量不计，杆顶重物重 量为W）
竖向位移
W
1
解：
l EA
对质点进行受力分析，利用平衡条件
ky 0 m y
Flexibility method柔度法
y m 对体系进行受力分析，质点位移表达式为
FI
（ m ） y
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFI
柔度系数δ
) y (m y
对单自由度体系
m y 1

y0

1 k
刚度法 柔度法
对质点进行受力分析，利用平衡条件 对体系进行受力分析，写出质点位移表达式 注意刚度系数与柔度系数的关系
2. 自由振动微分方程的解 Solution of Free-vibration equation
自由振动微分方程：
ky 0 m y
自由振动微分方程确定了体系自由振动时的运动规律
k y 0 y m
令
k m
2
y 0 y
2
2 y y 0
间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时 间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。