• 因子分析要求变量间有一定的相关性。
因子分析的发展
• 起源于心理学 Spearman的“智力结构”理论（1904） 一般能力 / 特殊能力 Pearson：主因子法 Thurstone：公因子数目 / 简单结构
验证性因子分析
因子模型
x1 a11 f1 a12 f2 ... a1k fk v1u1
握力 .019 -.032
1.000 .535 .264
背力 .042 -.093 .535
1.000 .207
身高 -.025 -.097 .264 .207 1.000
公因子方差Hi2
Communalities
单脚 站立 反应 时1 握力 背力 身高
In iti a l 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
常用的因子斜交旋转方法
牺牲因子间的独立性，获得更好的因子解释。 • 负荷矩阵（模式矩阵 factor pattern）和结构矩阵（factor structure）
S=BW S 结构矩阵（元素为因子和变量之间的相关系数） B模式矩阵即旋转后的负荷阵 W 因子间的相关阵
因子得分
• 因子（潜变量）在理论一般不能表示成原始变量（可观测变量）的线性组合，但实际 可以用线性模型（回归模型）来估计因子得分。
Extra cti on .596 .560 .707 .663 .324
Extraction Method: Principal Component Analysis.
R*
Reproduced Correlations
Reproduced Correlation
单脚 站立 反应 时1 握力 背力 身高
• 因子得分的意义
因子分析实例
数据来自2000年全国体质调研，北京、男20-30岁组
Correlation Matrix
Co rre l a ti o n
单脚 站立 反应 时1 握力 背力 身高
单脚 站立 1.000 -.147 .019 .042 -.025
反应 时1 -.147 1.000 -.032 -.093 -.097
x2
a21 f1 a22 f2 ... a2k fk v2u2 ...
xm am1 f1 am2 f2 ... amk fk vmum
因子模型矩阵表示
x1
a11
a12
...
a1k
f1
v1
0 u1
x2 a21 a22 ... a2k f2 ... ...
负荷矩阵的每行至少有一个0 对于每个原始变量x，在少数公因子上的
负载较大而在其余的公因子上负载接近0
常用的因子正交旋转方法
• 正交旋转（寻找正交矩阵） varimax（方差最大法）：使因子载荷矩阵的（标度）列元素的平方的方差和达到最大 。有利因子解释 quartimax（四次方最大法）：使因子载荷矩阵的（标度）行元素的平方的方差和达到 最大。有利原始变量解释 equimax（等量最大法）：前二种方法的妥协结果。
假设检验，如回答公因子是否“显著”的问题。
因子个数的确定原则
• 不大于（实际上远远少于）原变量的个数 • 研究者事先确定 • 从R*的特征值出发
看累积比例 看特征值大小（大于1准则） 看特征值的变化速率（碎石图） • 假设检验（仅适用ML估计）
碎石图
因子旋转
• 因子负荷矩阵不是唯一的 • 一般要求因子满足“简单结构原理”
单脚 站立 .596b
-.567
反应 时1 -.567 .560b
-.0பைடு நூலகம்0
-.074
.024
-.141
-.005
-.078
Extraction Method: Principal Component Analysis. b. Reproduced communalities
握力 -.050 -.074 .707b .680 .478
背力 .024 -.141 .680 .663b .463
身高 -.005 -.078 .478 .463 .324b
R*的特征值
Total Variance Explained
Initial Eigenvalues
Component 1
Total % of Variance Cumulative %
V diag(v12,...,vm2 )
因子载荷（负荷）矩阵的统计意义
• A的元素aij是xi与fj之间的相关系数 • A的行元素平方和体现原始变量对公因子的依赖程度（xj，xj*） • A的列元素平方和体现公因子fj对x的贡献
1 r12 ... r1p
R
r21
1
...
r2
p
... ... ... ...
... xm
am1
...
...
am2 ... amk fk
0
vm um
x Af vu
因子模型假设
E(f ) 0
VEa(ur()f)
0
I
Var(u) I
cov(f,u) E(fu) 0
因子模型的性质
H
2 i
ai21
ai22
...
ai2k
H
2 i
vi2
1
R R* V , R* AA,
rp1 rp2 ...
1
R
r11 r21
...
r12 r22 ...
... ...
r1 r2
p p
... ...
rp1
rp 2
...
rpp
V
2 1
...
0
0
2 p
因子模型的参数估计
• 主因子法：对R*进行分解（SMC） • 主成分法：用R代替R*（默认的方法） • ML：精度较高的估计，计算量大。如果样本来自多维正态总体，则能给出关于模型的
因子分析
Factor Analysis
外显变量和潜变量
外显变量 潜变量
上课迟到早退
按时完成作业
学
习态度
自觉复习功课
坚持朗诵课文
作文
词汇 言语表达能力
口语
因子分析
• 因子分析可以看成是主成份分析的一种推广。它的基本目的是用少数几个因子F1、F2 、…去描述许多变量之间的关系。被描述的变量X1、X2…是可以观测的随机变量，即 显在变量，而这些因子F1、F2、…是不可观测的潜在变量。
1.720
34.390
34.390
2
1.131
22.618
57.009
3
.908
18.167
75.176
4
.785
15.691
90.867
5
.457
9.133
100.000
Extraction Method: Principal Component Analysis.