例 2 设 ε＞0，|x－a|＜ε4 ，|y－b|＜ε6 .
求证：|2x＋3y－2a－3b|＜ε. 分析：将 2x＋3y－2a－3b 写成 2(x－a)＋3(y－b)的形式后利用
定理 1 和不等式性质证明．
证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤ |2(x－a)|＋|3(y－b)|＝2|x－a|＋3|y－b|＜ 2×ε4 ＋3×ε6 ＝ε.
证明：|xy－ab|＝|xy－bx＋bx－ab| ＝|x(y－b)＋b(x－a)|≤|x(y－b)|＋|b(x－a)| ≤|x||y－b|＋|b||x－a| <A·2ε＋A·2ε＝Aε. 所以有|xy－ab|<Aε.
2．已知函数f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证： |f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
例 3 设 m 等于|a|、|b|和 1 中最大的一个．当|x|>m a b
时，求证：x＋x2<2.
分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、 |b|和 1 这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将 十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m≥|a|，m≥|b|， m≥1.
证明：∵m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，|x|>m，
总之，恒有|a|＋|b|≤16. 而a＝8，b＝－8时， 满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16. 因此|a|＋|b|的最大值为16.
3．求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
分析：若把x－3，x＋1看作两个实数，则所给的代数 式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数 和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而 可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的 是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．
解析：方法一 ∵||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝ 4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
∴ymax＝4，ymin＝－4.
方法二 把函数看作分段函数．1
4，x<－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3，
－4，x>3.
∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4. 点评：对于含有两个以上绝对值的代数式，通常利用分 段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解 决相应问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”， 有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的 差或和，以达到所0.
3
8
0
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式
的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
(1)|a|＋|b|≥|a＋b|；
(2)|a|－|b|≤|a＋b|；
(3)|a|·|b|＝|a·b|；
(4)||ab||＝ab(b≠0)．
思考2 说出下列不等式等号成立的条件：
(1)|a|＋|b|≥|a＋b|； (2)|a|－|b|≤|a＋b|； (3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
(1)等号成立的条件是：ab≥0； (2)等号成立的条件是：ab≤0且a≥b. (3)等号成立的条件是：(a－b)(b－c)≥0
3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a， |a|≥－a及绝对值的和的性质．
绝对值三角不等式
1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也 称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普 通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表 示的数的绝对值．
即|x|＝ x0，，xx＞＝00，， －x，x＜0.
思考1 求下列各数的绝对值：
(1)3；
∴||xx||>>mm≥ ≥||ba||， ， |x|>m≥1
|x|>|a|， ⇒ |x|2>|b|.
a b a b |a| |b| |x| |x|2 ∴x＋x2≤x＋x2＝|x|＋|x|2<|x|＋|x|2＝2，
故原不等式成立．
1．设 A、ε>0，|x－a|<ε2 ，|y－b|<ε2 ，|b|≤A，|x|≤A，求 证：|xy－ab|<Aε.
证明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋13－(a2－a＋13)| ＝|x2－a2－x＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1| ＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1| <1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)． ∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
题型二 利用绝对值三角不等式求最值
例2 设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4， 求|a|＋|b|的最大值．
解析：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1
＋1＝2，
|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋ 2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2； ②当ab<0时，则a(－b)>0， |a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.
思考3 当|a|>a时，a∈(_－___∞_,_0_)_；当|a|>－a时， a∈(0，＋∞)．
题型一 利用绝对值三角不等式证明不等式
例1 若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a. 证明：由|a－b|＞c及|b－c|＜a得 c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|＝ |a－c|＝|c－a|. 由c－a＜|c－a|知c－a＜0，故c＜a.